Cálculo Numérico - Engenharia Civil UEM

CAPÍTULO 11. INTEGRAÇÃO NUMÉRICA 352
Exemplo 11.11 - Calcular:
usando quadratura de Gauss-Legendre.
2
1
Solução: Como o intervalo de integração não coincide com o intervalo [-1,1] de definição do produto
escalar de Legendre, devemos fazer uma mudança de variável. Assim:
e
dx
x ,
quando x = 1 devemos ter t = −1 ,
quando x = 2 devemos ter t = 1 .
A equação da reta que passa por (1, 2) e (−1, 1) pode ser obtida calculando-se o seguinte determinante
e igualando-o a zero, isto é:
x t 1
1 −1 1
= −2x + t + 3 = 0 .
2 1 1
Resolvendo esta equação, obtemos:
Portanto: 2
1
x =
dx
x =
1
t + 3
2
−1
, e dx = 1
2 dt.
1
t + 3
2
1
2
dt =
1
−1
dt
t + 3 .
Estão, agora, satisfeitas as condições da fórmula de quadratura de Gauss-Legendre com ω(x) = 1, a =
−1, b = 1 e f(t) = 1
t + 3 .
Como f(t) não é um polinômio, não temos maiores informações sobre o grau do polinômio a ser usado.
Assim, resolveremos esta integral fixando n = 2. Mais adiante nos preocuparemos com a precisão do
resultado.
Da Tabela 1, com N = n + 1 = 3, obtemos:
Assim:
t0 = −0.7746 , A0 = 0.5556 = A2 ,
t1 = 0 , A1 = 0.8889 ,
t2 = 0.7746 .
f (t0) =
f (t1) =
f (t2) =
1
−0.7746 + 3
1
0 + 3
1
0.7746 + 3
= 0.3333 ,
= 0.4494 ,
= 0.2649 .