Cálculo Numérico - Engenharia Civil UEM

CAPÍTULO 1. CONCEITOS BÁSICOS 9
Para que o trinômio seja sempre ≥ 0 é necessário que ∆ ≤ 0. Assim:
∆ = 4(x, y) 2 − 4(x, x)(y, y) ≤ 0,
⇒ (x, y) 2 ≤ (x, x)(y, y).
Mostremos agora que a igualdade é válida se e somente se x e y são linearmente dependentes. Seja
x = λ y. Então:
(x, y) 2 = (λy, y) 2 = [λ(y, y)] 2 = λ 2 (y, y) 2
= λ 2 (y, y)(y, y) = (λy, λy)(y, y) = (x, x)(y, y).
Isto é, x e y linearmente dependentes =⇒ (x, y) 2 = (x, x)(y, y).
Suponhamos, agora que a igualdade seja válida em (1.13). O caso y = θ é trivial. Suponhamos y = θ.
Temos que (x, y) 2 = (x, x)(y, y) é equivalente a:
(x + λ y, x + λ y) = 0 com λ = −
Assim, de P4, concluímos que x + λ y = 0. Ou seja x =
linearmente dependentes.
Exercícios
(x, y)
(y, y)
(x, y)
(y, y) .
1.6 - Em relação ao produto escalar usual do IR 3 , calcule (x, y) nos seguintes casos:
a) x = (1/2, 2, 1) t , y = (4, 1, −3) t ;
b) x = (2, 1, 0) t , y = (4, 0, 2) t ;
y, e isto quer dizer que x e y são
1.7 - Determinar (f, g) = 1
f(t)g(t)dt para cada um dos seguintes pares de vetores de K2(t).
0
a) f(t) = t , g(t) = 1 − t 2 ;
b) f(t) = t − 1 2 , g(t) = 1 2 −
t − 1
2
;
1.8 - Sejam x = (x1, x2) t e y = (y1, y2) t dois vetores quaisquer do IR 2 . Mostre que:
(x, y) = x1x2 y1y2
+
a2 b2 ,
com a, b ∈ IR fixos e não nulos define um produto escalar sobre o IR 2 .
1.9 - Considere no espaço vetorial IR 2 o produto escalar dado por: (x, y) = x1y1 + 2x2y2, para todo
par de vetores x = (x1, x2) t e y = (y1, y2) t . Verificar se x e y são ortogonais em relação a esse produto
escalar nos seguintes casos:
a) x = (1, 1) t e y = (2, −1) t ;
b) x = (2, 1) t e y = (−1, 1) t ;
b) x = (3, 2) t e y = (2, −1) t ;