Cálculo Numérico - Engenharia Civil UEM

CAPÍTULO 11. INTEGRAÇÃO NUMÉRICA 349
e) calcular o valor de f(x) em x0, x1, . . . , xn.
f) calcular, finalmente,
b
a
ω(x) f(x) dx
Exemplo 11.9 - Usando quadratura de Gauss, calcular:
1
−1
n
k=0
(x 3 − 5x) dx .
Ak f (xk) .
Solução: É claro que para resolver esta integral não precisamos de método numérico, entretanto este
exemplo servirá para ilustrar como resolver uma integral usando o procedimento dado anteriormente.
Na integral, vemos que a = −1, b = 1, ω(x) = 1, e f(x) = x 3 − 5x. Assim f(x) é um polinômio de
grau 3, e pela propriedade 4, temos que: se f(x) é um polinômio de grau 2n + 1, o resultado da integral
é exato ( a menos de erros de arredondamento).
Portanto, fazendo 2n + 1 = 3, obtemos que n = 1.
Assim, devemos utilizar os zeros de φn+1(x) = φ2(x), para resolver a integral. O produto escalar,
para obter φ2(x), será: 1
−1 f(x) g(x) dx. Logo o polinômio procurado é x2 − 1 3
, (ver exemplo 11.8).
Portanto, fazendo x 2 − 1 3 = 0, obtemos x0 = −0.57735 e x1 = 0.55735 , (que são os zeros de φ2(x)
em [−1, 1]).
Temos que:
e portanto:
A0 =
desde que x0 = −x1 e x2
2
=
A1 =
ℓ0(x) =
1
−1
ℓ0(x) dx =
1
(x0 − x1)
= −2x1
−2x1
=
] 1
−1
1
(x − x1)
(x0 − x1) , ℓ1(x) =
1
−1
= 1 ,
1
−1
(x − x1)
(x0 − x1) dx
(x − x1) dx =
= 0. Do mesmo modo:
−1
ℓ1(x) dx =
1
(x1 − x0)
= −2x0
−2x0
1
−1
= 1 .
1
−1
(x − x0)
(x1 − x0) dx
(x − x0) dx =
(x − x0)
(x1 − x0) ,
1
(x0 − x1) (x2
2 − (x x1)) ] 1
−1
1
(x1 − x0) (x2
2 − (x x0)) ] 1
−1