Cálculo Numérico - Engenharia Civil UEM

CAPÍTULO 13. SOLUÇÃO NUMÉRICA DE EQUAÇÕES DIFERENCIAIS PARCIAIS 448
4/3 −1/6
−1/6 4/3
Resolvendo o sistema acima obtemos:
A solução exata é u11 = u21 = 0.1861023.
U11
U21
=
U11 = U21 = 0.1904762.
2/9
2/9
Veja que a utilização de um método implícito como o acima é de difícil justificativa prática, uma vez
que a precisão dos resultados não melhorou na mesma proporção do aumento do esforço computacional.
Apresentaremos ainda neste capítulo um método implícito que apresenta erro de truncamento com ordem
mais alta. Antes vamos calcular o erro de truncamento do método implícito para justificar os resultados
numéricos obtidos no exemplo acima.
Erro de Truncamento Local
O desenvolvimento aqui segue exatamente as mesmas idéias do caso do método explícito e portanto
repetiremos sómente os passos principais.
Seja τi,j o erro de truncamento ocorrido no cálculo de Ui,j. Então, podemos escrever:
ui,j − ui,j−1
k
= α
h 2 (ui−1,j − 2ui,j + ui+1,j) + τi,j .
Aplicando expansão em série de Taylor em torno de (xi, yj), obtemos,
Assim:
ut − k
2 utt + O(k 2 ) = αuxx + α h2
12 uxxxx + O(h 3 ) + τi,j .
τi,j = − k
2 utt − αh2
Concluímos que o método é incondicionalmente consistente e de ordem 1.
12 uxxxx + O(k 2 ) + O(h 3 ) = O(k + h 2 ) . (13.38)
Comparando as expressões (13.21) e (13.38) observamos que elas diferem apenas no sinal do termo
k
2 utt sendo um positivo e outro negativo. Esse fato nos motiva a considerar uma nova aproximação que
é a média entre as aproximações explícita e implícita, na esperança de que esse termo despareça do erro
de truncamento local, como de fato ocorre. Essa estratégia dá origem ao método de Crank-Nicolson que
será estudado logo mais adiante.
Erro Global
Segue o mesmo desenvolvimento feito para o método explícito.
.