Cálculo Numérico - Engenharia Civil UEM

CAPÍTULO 8. APROXIMAÇÃO DE FUNÇÕES: MÉTODO DOS MÍNIMOS QUADRADOS 266
8.23 - Usando método dos mínimos quadrados aproxime a função f(x) = 3 x 6 − x 4 no intervalo [-1,1],
por uma parábola, usando os polinômios de Legendre.
Obs: Os polinômios de Legendre
Ln(x) = 1
2 n .n!
são ortogonais segundo o produto escalar:
e além disso satisfazem:
(Li(x), Lj(x)) =
1
d n
dx n (x2 − 1) n ; L0(x) = 1 ,
1
−1
Ln
−1
2 (x)dx =
Li(x)Lj(x)dx ,
2
2n + 1 .
8.24 - Encontre a melhor aproximação para f(x) = sen 3x no intervalo [0, 2π], da forma:
P (x) = a0 + a1 cos x + b1 sen x .
8.25 - Determinar aproximação trigonométrica de ordem 2, em [−π, π], para y(t) = |sent|.
8.26 - Obter aproximação trigonométrica, de ordem 1, para a função :
x π 2π
3 3
π 4π 5π
3 3
2π
f(x) 0.75 −0.75 −6 −0.75 0.75 6
8.27 - Deseja-se aproximar uma função f > 0 tabelada por uma função do tipo:
usando o método dos minímos quadrados.
x 2
ln (a x 4 + b x 2 + c) ,
a) Podemos aproximar f diretamente pela função acima? Caso não seja possível, quais são as
transformações necessárias?
b) Qual função será minimizada?
c) Qual é o sistema linear a ser resolvido?
8.28 - Usando o método dos mínimos quadrados encontre a e b tais que y = ax b ajusta os dados:
8.29 - Considere a tabela:
x 0.1 0.5 1.0 2.0 3.0
y 0.005 0.5 4 30 110
t 3.8 7.0 9.5 11.3 17.5 31.5 45.5 64.0 95.0
y 10.0 12.5 13.5 14.0 15.0 16.0 16.5 17.0 17.5
Por qual das funções :
a) y(t) = t
; b) y = abt
a + bt
você ajustaria esta tabela?
Sugestão: Faça o teste de alinhamento.