Cálculo Numérico - Engenharia Civil UEM

CAPÍTULO 1. CONCEITOS BÁSICOS 10
1.10 - Determine m de modo que sejam ortogonais os vetores x = (m + 1, 2) t e y = (−1, 4) t em
relação ao produto escalar usual do IR 2 .
1.11 - Determinar f(x) ∈ K2(x) que seja ortogonal a g(x) = 1 e h(x) = t, em relação ao produto
escalar dado por:
(f, g) =
1
−1
f(x) g(x) dx .
1.12 - Considere no IR 3 o produto escalar usual. Determine m ∈ IR de tal modo que os vetores
u = (1, m + 1, m) t , v = (m − 1, m, m + 1) t , sejam ortogonais.
1.13 - Sejam f(x) = x, g(x) = mx 2 − 1 e considere o produto escalar usual em C[0, 1]. Determine o
valor de m, para que f(x) e g(x) sejam ortogonais.
Espaço Vetorial Normado
Vamos definir agora importantes definições de norma de vetor e de matriz. Com isso estaremos aptos
a definir, quando oportuno, as noções de limite de uma sequência de vetores ou de matrizes, de grande
utilidade, entre outros, no estudo de convergência de métodos iterativos de solução de sistemas lineares
e do problema de erros de arredondamento nos processos de cálculo onde intervêm matrizes ou vetores.
Norma de Vetor
Definição 1.7 - Chama-se norma de um vetor x, em símbolo, x , qualquer função definida num
espaço vetorial E, com valores em IR , satisfazendo as seguintes condições:
N1) x ≥ 0 e x = 0 se e somente se x = θ ,
N2) λ x = |λ| x para todo escalar λ
N3) x + y ≤ x + y (desigualdade triangular).
Um espaço vetorial E, onde está definida uma norma é chamado espaço vetorial normado.
Daremos a seguir alguns exemplos de norma no IR n .
Exemplo 1.8 - Seja E = IR n , e seja x = (x1, x2, . . . , xn) t . Mostrar que, definindo:
o IR n torna-se um espaço vetorial normado.
x E =
n
i=1
x2 i , (1.14)
Solução: Vamos mostrar que as condições N1, N2 e N3 estão satisfeitas, isto é, que (1.14) é uma norma