Cálculo Numérico - Engenharia Civil UEM

CAPÍTULO 13. SOLUÇÃO NUMÉRICA DE EQUAÇÕES DIFERENCIAIS PARCIAIS 465
Figura 4.2: Malha de discretização com h = k = 1
3
Existem 4 pontos internos: P1,1, P1,2, P2,1, P2,2, (Pi,j = (xi, yj)). Nesse caso N = M = 3. As condições
de fronteira para o problema de Dirichlet são dadas como:
u(0, y) = 0, u(1, y) = 1, u(x, 0) = 0, u(x, 1) = 0
Observe que estamos utilizando h = k e portanto a equação (13.75) pode ser reescrita como:
Variando os índices i e j obtemos:
4Ui,j − Ui+1,j − Ui−1,j − Ui,j+1 − Ui,j−1 + h 2 fi,j. (13.80)
4U1,1 − U2,1 − U0,1 − U1,2 − U1,0 = 1
9 f1,1
4U1,2 − U2,2 − U0,2 − U1,3 − U1,1 = 1
9 f1,2
4U2,1 − U3,1 − U1,1 − U2,2 − U2,0 = 1
9 f2,1
(13.81)
4U2,2 − U3,2 − U1,2 − U2,3 − U2,1 = 1
9 f2,2.
Todos os valores de Ui,j para i = 0 ou i = 3 e qualquer j e j = 0 ou j = 3 e qualquer i são conhecidos.
Substituindo esses valores nas equações (13.81) acima podemos reescrevê-las na forma matricial como:
⎛
⎜
⎝
4 −1 −1 0
−1 4 0 −1
−1 0 4 −1
0 −1 −1 4
⎞ ⎛
⎟ ⎜
⎟ ⎜
⎠ ⎝
13.8 Erro de Truncamento Local
U1,1
U1,2
U2,1
U2,2
⎞
⎟
⎠ =
⎛
⎜
⎝
f1,1/9
f1,2/9
1 + f2,1/9
1 + f2,2/9
Comentamos na seção anterior que a aproximação gerada pela discretização por diferenças finitas
“converge” para a solução do problema (13.71-13.72). Nesta seção vamos demonstrar esse fato para o
caso de um domínio retangular. Para esse fim precisamos introduzir alguns conceitos e resultados.
Note que a expressão (13.74) não é uma igualdade, de forma que podemos definir a quantidade:
⎞
⎟
⎠ .
Ti,j = −∆δui,j − f(xi, yj). (13.82)