Cálculo Numérico - Engenharia Civil UEM

CAPÍTULO 3. EQUAÇÕES NÃO LINEARES 78
Exemplo 3.12 - Considere o seguinte sistema não linear:
f(x, y) = 0.2 x 2 + 0.2 x y − x + 0.6 = 0
g(x, y) = 0.4 x + 0.1x y 2 − y + 0.5 = 0
a) Verifique que reescrevendo o sistema dado na forma:
x = 0.2 x 2 + 0.2 x y + 0.6 = F (x, y)
y = 0.4 x + 0.1 x y 2 + 0.5 = G(x, y)
as condições suficientes para garantir a convergência são satisfeitas.
b) Aplique o método iterativo linear para resolver o sistema dado.
Solução: Uma solução desse sistema, facilmente comprovável, é o ponto:(¯x, ¯y) = (1, 1). É claro que não
conhecemos, a priori, a solução do sistema , mas este é apenas um exemplo para ilustrar a verificação das
condições suficientes de convergência , bem como a aplicação do método iterativo linear. Mais adiante
mostraremos como determinar os valores iniciais.
Para verificar as condições suficientes, calculemos inicialmente, as derivadas parciais de F e G. Assim:
Fx = 0.4 x + 0.2 y , Fy = 0.2 x ,
Gx = 0.4 + 0.1 y 2 , Gy = 0.2 x y ,
Se escolhermos, por exemplo, (x0, y0) = (0.9, 1.1), vemos que F, G e suas derivadas parciais são
contínuas em (x0, y0). Além disso, as desigualdades que figuram nas condições para convergência, são
satisfeitas, pois temos:
|Fx| + |Fy| = |(0.4)(0.9)| + |(0.2)(1.1)| + |(0.2)(0.9)| = 0.76 < 1
|Gx| + |Gy| = |(0.4) + (0.1)(1.1) 2 | + |(0.2)(0.9)(1.1)| = 0.719 < 1.
E é claro que (x0, y0) está na vizinhança de (¯x, ¯y). Tomando então (x0, y0) = (0.9, 1.1) e usando o
processo iterativo definido por(3.12), obtemos:
x1 = F (x0, y0) = (0.2)(0.9) 2 + (0.2)(0.5)(1.1) + 0.6
⇒ x1 = 0.96
y1 = G (x0, y0) = (0.4)(0.9) + (0.1)(0.9)(1.1) 2 + 0.5
⇒ y1 = 0.9689
x2 = F (x1, y1) = (0.2)(0.96) 2 + (0.2)(0.96)(0.9689) + 0.6
⇒ x2 = 0.9703
y2 = G (x1, y1) = (0.4)(0.96) + (0.1)(0.96)(0.0.9689) 2 + 0.5
⇒ y2 = 0.9791
x3 = F (x2, y2) = (0.2)(0.9703) 2 + (0.2)(0.9703)(0.9791) + 0.6
⇒ x3 = 0.9773
y3 = G (x2, y2) = (0.4)(0.9703) + (0.1)(0.9703)(0.9791) 2 + 0.5
⇒ y3 = 0.9802
.
É claro que a sequência (xk, yk) está convergindo para (1, 1). Além disso, podemos dizer que a
solução (¯x, ¯y), com erro relativo inferior a 10−2 , é (0.9773, 0.9802), desde que |x3 − x2|
x3
0.007 e
|y3 − y2|
y3
0.001. Observe ainda que mesmo se uma das componentes estiver com a precisão desejada,
mas a outra não, o processo deve ser continuado até que todas estejam com a precisão pré-fixada.