Cálculo Numérico - Engenharia Civil UEM

CAPÍTULO 11. INTEGRAÇÃO NUMÉRICA 337
Portanto:
max
0≤t≤1.2 |f ′′ (t)| = |f(1.2)| = 2(3.320)(0.932) = 6.188 .
Substituindo o valor máximo da derivada segunda em (11.15), lembrando que h = b − a
N
=
1.2 − 0
N
= 1.2
N , e impondo que o erro seja ≤ 0.5 × 10−3 , pois queremos o resultado com três casas
decimais corretas, obtemos:
R(f) ≤
1.2 h2
12
(6.188) ≤ 0.5 × 10−3
⇒ h 2 ≤ 0.0000808
⇒ h ≤ 0.02842 .
Observe que devemos escolher o maior h, que seja ≤ 0.02842, mas que divida exatamente o intervalo
[0, 1.2]. Assim, escolhemos h = 0.025, e usando o fato que N = b − a
h , obtemos que Nmin = 48. Assim
devemos dividir o intervalo [0,1.2] em 48 sub-intervalos iguais para obter 1.2
e 0 x cos x dx pela regra do
trapézio com três casas decimais precisas. Compare com as regras de Simpson, onde a mesma precisão é
obtida com um número muito menor de subintervalos.
Para obtermos o erro na fórmula 1 3 de Simpson, sobre o intervalo [x0, x2], substituimos n por 2 no
Teorema 11.3. Assim:
R(f) = h5 f (IV ) (ξ)
4!
= h5 f (IV ) (ξ)
24
= h5 f (IV ) (ξ)
4!
2
0
2
0
[(u − 1)u(u − 1)(u − 2)] du
− 4
15
Portanto o erro, ao aplicarmos uma vez a regra 1 3
Então, podemos escrever:
x2
x0
u 4 − 4u 3 + 5u 2 − 2u du
.
de Simpson, é dado por:
R(f) = − h5
90 f (IV ) (ξ) , x0 < ξ < x2 . (11.16)
f(x)dx = h
3 [f (x0) + 4f (x1) + f (x2)] − h5
90 f (IV ) (ξ), x0 < ξ < x2 .