Cálculo Numérico - Engenharia Civil UEM

CAPÍTULO 7. DETERMINAÇÃO NUMÉRICA DE AUTO-VALORES E AUTO-VETORES 198
desde que λk é auto valor de A e portanto é raiz do polinômio característico. Assim, acabamos de mostrar
que:
AQk = λk Qk ,
Portanto, construídas as matrizes Bi e determinados todos os auto-valores da matriz A, para obter
os auto-vetores correspondentes ao auto-valor λk basta calcular a matriz Qk usando (7.6). Entretanto,
observe que se u é alguma coluna não nula de Qk, então, podemos escrever que:
Au = λku .
isto é, u é auto-vetor de A correspondente ao auto-valor λk. Assim, ao invés de determinarmos a matriz
Qk, é muito mais vantajoso calcularmos apenas uma coluna u de Qk, da seguinte maneira: Fazemos,
u0 = e
ui = λkui−1 + bi , i = 1, 2, . . . , n − 1 ,
onde e é uma coluna adotada da matriz identidade e bi é sua correspondente coluna da matriz Bi, isto
é, se adotamos e como sendo a i-ésima coluna da matriz identidade então b1, b2, . . . , bn−1 em (7.7) serão,
respectivamente, a i-ésima coluna das matrizes B1, B2, . . . , Bn−1. Logo, u = un−1 é o auto-vetor
correspondente ao auto-valor λk. Note que em (7.7), i varia de 1 até n − 1 pois Bn = θ.
Observe que se calcularmos até un−1 e este resultar no vetor nulo, devemos adotar outra coluna da
matriz identidade e refazer os cálculos, pois por definição o auto-vetor é um vetor não nulo.
Exemplo 7.3 - Considere a matriz dada no exemplo 7.2. Usando o método de Leverrier-Faddeev, determinar:
Solução:
a) seu polinômio característico,
b) seus auto-valores e correspondentes auto-vetores,
c) sua inversa.
a) Para determinar o polinômio característico devemos construir a sequência A1, A2, A3. Assim,
(7.7)