Cálculo Numérico - Engenharia Civil UEM

CAPÍTULO 11. INTEGRAÇÃO NUMÉRICA 323
Agora, sabemos que: f(x) Pn(x) e
f(x) = Pn(x) + Rn(x)
.
erro na interpolação.
Portanto, integrando a igualdade anterior de a até b, com função peso ω(x), segue que:
b
a
ω(x)f(x) dx =
onde R(f) é o erro na integração.
Logo:
b
a
=
ω(x)f(x) dx =
b
a
b
a
ω(x)Pn(x) dx +
ω(x)
n
k=0
fk
b
ω(x)Rn(x) dx
a
R(f)
n
fkℓk(x) dx + R(f) ,
k=0
b
ou: b
ω(x)f(x) dx ∼ =
onde:
a
Ak =
b
a
a
ω(x)ℓk(x) dx + R(f) , (11.1)
n
Akfk , (11.2)
k=0
ω(x)ℓk(x) dx .
Portanto (11.2) é uma fórmula de quadratura interpolatória e
é o resto.
R(f) =
b
a
ω(x)Rn(x) dx ,
Teorema 11.1 - A fórmula de quadratura (11.2) é interpolatória se e somente se o grau de precisão é
pelo menos n. (ou seja, se e somente se a fórmula é exata para todo polinômio de grau ≤ n).
Prova: A prova deste teorema pode ser encontrada, por exemplo, em [Krilov, 1962].
Esse teorema garante que: dados n + 1 pontos distintos, x0, x1, . . . , xn, se exigirmos que a fórmula
seja exata para todo polinômio de grau ≤ n então os coeficientes Ak são determinados completamente.
Isto é equivalente a dizer que a equação:
b
a
ω(x) x i dx =
n
k=0
Akx i k ,
é satisfeita para i = 0, 1, . . . , n e é não satisfeita para i = n + 1.