Cálculo Numérico - Engenharia Civil UEM

CAPÍTULO 10. APROXIMAÇÃO DE FUNÇÕES: MÉTODOS DE INTERPOLAÇÃO POLINOMIAL285
onde: π ′ n+1(xk) é a derivada de πn+1(x) avaliada em x = xk.
Primeiramente, calculamos as diferenças:
x − x0 x0 − x1 x0 − x2 . . . x0 − xn
x1 − x0 x − x1 x1 − x2 . . . x1 − xn
x2 − x0 x2 − x1 x − x2 . . . x2 − xn
. . .
xn − x0 xn − x1 xn − x2 . . . x − xn .
Denotamos o produto dos elementos da primeira linha por D0, o da segunda por D1 e assim por
diante. Observe que o produto dos elementos da 1 a linha é exatamente o denominador de ℓ0(x) em
(10.11), o produto dos elementos da 2 a linha, o denominador de ℓ1(x), etc. O produto dos elementos da
diagonal principal será, obviamente, Πn+1(x) e, então, segue que:
onde:
ℓk(x) = πn+1(x)
Assim, a fórmula de Lagrange se reduz a:
Dk
Pn(x) = πn+1(x)
, k = 0, 1, . . . , n .
n
k=0
= πn+1(x) × S ,
S =
n
k=0
Portanto, podemos obter o valor do polinômio num ponto, não tabelado, através do seguinte:
fk
Dk
.
fk
Dk