Cálculo Numérico - Engenharia Civil UEM

CAPÍTULO 10. APROXIMAÇÃO DE FUNÇÕES: MÉTODOS DE INTERPOLAÇÃO POLINOMIAL303
Portanto: P2(x) = 15 + (x + 1)(−7) + (x + 1)(x − 0)(1).
Agrupando os termos semelhantes obtemos: P2(x) = x 2 − 6 x + 8.
Os valores de f(1) é dado por P2(1), lembrando que este é um valor aproximado. Assim: P2(1) =
3 f(1).
Desde que pelo Teorema 10.1 o polinômio de interpolação é único e como o exemplo acima foi resolvido
pela fórmula de Lagrange, era de se esperar o resultado obtido.
Como no caso de Lagrange, existe um esquema prático para calcular o valor do polinômio de interpolação
num ponto sem determinar a expressão do polinômio. Assim:
Esquema Prático
Tomemos para exemplo o polinômio de interpolação de Newton de grau 3. Assim:
P3(x) = f [x0] + (x − x0) f [x0, x1] + (x − x0) (x − x1) f [x0, x1, x2] +
+ (x − x0) (x − x1) (x − x2) f [x0, x1, x2x3] .
= f [x0] + (x − x0) {f [x0, x1] + (x − x1) {f [x0, x1, x2] + (x − x2) f [x0, x1, x2, x3]}} .
Observe que a idéia do esquema prático é ir colocando os termos comuns, que aparecem de uma
determinada parcela em diante, em evidência. Denominando:
O esquema prático é então dado por:
f[x0, x1, x2, x3]
α0
❄
f [x0, x1, x2, x3] = α0
f [x0, x1, x2, ] + (x − x2) α0 = α1
f [x0, x1] + (x − x1) α1 = α2
f [x0] + (x − x0) α2 = α3 = P3(x) .
❨
×
f[x0, x1, x2]
❨
×
f[x0, x1]
❨
f[x0]
✯
✯
✯
+ ❄ + ❄ + ❄
x − x2 x − x1 x − x0
Assim para um polinômio de grau n teremos αn = Pn(x) f(x).
α1
α2
×
α3 = P3(x)