Cálculo Numérico - Engenharia Civil UEM

CAPÍTULO 7. DETERMINAÇÃO NUMÉRICA DE AUTO-VALORES E AUTO-VETORES 211
7.5 Auto-Valores de Matrizes Simétricas
Nessa seção restringiremos nossa atenção para matrizes simétricas de ordem n. Matrizes deste tipo
possuem auto-valores reais e os auto-vetores são linearmente independentes. O método de Jacobi, que descreveremos
mais adiante, é usado para determinar os auto-valores e auto-vetores, de matrizes simétricas,
através de uma série de transformações similares:
Ak+1 = U −1
k AkUk , k = 1, 2, . . . ,
onde A1 = A. As matrizes A1, A2, . . . convergem num número infinito de passos para uma matriz diagonal.
Os auto-valores e auto-vetores são então determinados em virtude do Lema 1.1 ( o qual se aplica tanto
para matrizes simétricas como para matrizes não simétricas).
Assim, após m passos do método de Jacobi, obteremos:
Am+1 = U −1
m . . . U −1 −1
2 U1 A1U1U2 . . . Um .
Portanto, se Am+1 D, segue que os elementos diagonais de Am+1 são aproximações para os autovalores
de A e as colunas de V = U1U2 . . . Um são aproximações para os auto-vetores.
Para descrevermos o método de Jacobi, ( para matrizes simétricas), precisamos de alguns conceitos,
os quais passamos a considerar agora. Assim:
Rotação de Jacobi
Seja A uma matriz simétrica. Uma rotação (p, q) de Jacobi é a operação U t AU com U dada por
(1.23). Observe que fazer uma rotação de Jacobi é efetuar uma transformação de semelhança na matriz A.
Para um melhor entendimento, consideremos inicialmente, uma rotação (2,4) de Jacobi, em uma
matriz A de ordem 4. Efetuando o produto U tA, obtemos:
U tA =
⎛
1
⎜ 0
⎝ 0
0
cos ϕ
0
0
0
1
0
−sen ϕ
0
⎞ ⎛
a11
⎟ ⎜ a21 ⎟ ⎜
⎠ ⎝ a31
a12
a22
a32
a13
a23
a33
a14
a24
a34
⎞
⎟
⎠
0 sen ϕ 0 cos ϕ
=
⎛
⎜
⎝
a41 a42 a43 a44
a11 a12 a13 a14
a21c − a41s a22c − a42s a23c − a43s a24c − a44s
a31 a32 a33 a34
a21s − a41c a22s + a42c a23s − a43c a24s − a44c
= A ′ = (a ′ ij ), onde cos ϕ = c e sen ϕ = s.
Fazendo agora o produto A ′ U, segue que:
⎛
A ′ U =
=
⎛
⎜
⎝
⎜
⎝
a ′ 11 a ′ 12 a ′ 13 a ′ 14
a ′ 21 a ′ 22 a ′ 23 a ′ 24
a ′ 31 a ′ 32 a ′ 33 a ′ 34
a ′ 41 a ′ 42 a ′ 43 a ′ 44
⎞
⎟
⎠
⎛
⎜
⎝
a ′ 11 a ′ 12c − a ′ 14s a ′ 13 a ′ 12s + a ′ 14c
a ′ 21 a ′ 22c − a ′ 24s a ′ 23 a ′ 22s + a ′ 24c
a ′ 31 a ′ 32c − a ′ 34s a ′ 33 a ′ 32s + a ′ 34c
a ′ 41 a ′ 42c − a ′ 44s a ′ 43 a ′ 42s + a ′ 44c
⎞
⎟
⎠
1 0 0
0 cos ϕ 0 sen ϕ
0 0 1 0
0 −sen ϕ 0 cos ϕ
⎞
⎟
⎞
⎟
⎠
⎠ = A′′ = (a ′′
ij ) .