Cálculo Numérico - Engenharia Civil UEM

CAPÍTULO 1. CONCEITOS BÁSICOS 24
b) ψ = 3π, temos:
c) ψ = 3π 2
cos 3π sen 3π
−sen 3π cos 3π
cos 3π 2
−sen 3π 2
Logo, os auto-valores de T são:
sen 3π 2
cos 3π 2
v1
v2
v1
v2
=
=
−v1
−v2
−v2
1 se ψ = 2nπ , −1 se ψ = (2n + 1)π ,
v1
= −1
e em ambos os casos todo vetor não nulo do IR 2 é auto-vetor de T . Se ψ = ( 2n + 1
2
)π, T não tem
auto-valores e portanto T não tem auto-vetores. Observe que neste caso o operador linear está variando
a direção do vetor.
Se A é uma matriz quadrada n × n sobre K, então um auto-valor de A significa um auto-valor de A
encarado como operador em K n . Isto é, λ ∈ K é um auto-valor de A se, para algum vetor (coluna) não
nulo v ∈ K n , Av = λv. Nesse caso, v é um auto-vetor de A correspondente a λ.
Exemplo 1.21 - Seja:
A =
Determinar os auto-valores e auto-vetores de A.
3 4
2 1
Solução: Procuramos um escalar λ e um vetor não nulo v = (v1, v2) t tais que Av = λv. Assim:
3
2
4 v1
1
v1
= λ
.
v2
.
v2
= λ
v1
v2
v1
A equação matricial acima é equivalente ao sistema homogêneo:
3v1
2v1
+
+
4v2
v2
=
=
λv1
λv2
ou
(3 − λ)v1 + 4v2
2v1 + (1 − λ)v2
= 0
= 0
v2
,
.
(1.22)
Para que o sistema homogêneo tenha solução não nula, o determinante da matriz dos coeficientes deve
ser igual a zero. Logo:
(3 − λ) 4
2 (1 − λ) = λ2 − 4λ − 5 = (λ − 5)(λ + 1) = 0 .
Assim, λ é um auto-valor de A se e somente se, λ = 5 ou λ = −1.
Fazendo λ = 5 em (1.22), obtemos:
−2v1 + 4v2 = 0
2v1 − 4v2 = 0
ou simplesmente, v1 −2v2 = 0 ⇒ v1 = 2v2. Assim v = (v1, v2) t = (2, 1) t é um auto-vetor correspondente
ao auto-valor λ = 5. Qualquer outro auto-vetor correspondente a λ = 5 é um múltiplo de v.