Cálculo Numérico - Engenharia Civil UEM

CAPÍTULO 8. APROXIMAÇÃO DE FUNÇÕES: MÉTODO DOS MÍNIMOS QUADRADOS 247
nosso objetivo é minimizar:
Q = f − F 2 =
2π
0
(f(x) − F (x)) 2 dx .
Evidentemente, tal objetivo será alcançado quando F for a projeção ortogonal de f sobre o subespaço
gerado por:
{1, cos x, sen x, cos 2x, sen 2x, . . . , cos mx, sen mx} . (8.9)
Assim, os coeficientes: a0, a1, b1, . . . , am, bm são determinados resolvendo-se o sistema normal:
⎛
⎜
⎝
(1, 1)
(1, cos x)
. . .
(cos x, 1)
(cos x, cos x)
. . .
. . .
. . .
(sen mx, 1)
(sen mx, cos x)
⎞ ⎛
⎟ ⎜
⎟ ⎜
⎟ ⎜
⎟ ⎜
⎟ ⎜
⎟ ⎜
⎟ ⎜
⎟ ⎜
⎠ ⎜
⎝
(1, sen mx) (cos x, sen mx) . . . (sen mx, sen mx)
A sequência (8.9) é ortogonal em [0, 2π], isto é:
e temos:
2π
0
2π
0
2π
0
=
⎛
⎜
⎝
(f, 1)
(f, cos x)
.
(f, sen mx)
⎞
⎟ .
⎟
⎠
(8.10)
sen px cos qx dx = 0 ,
sen px sen qx dx =
cos px cos qx dx =
Portanto o sistema (8.10), se reduz a:
⎛
2π
⎜
⎝
π
. ..
⎞ ⎛
○ ⎟ ⎜
⎟ ⎜
⎟ ⎜
⎠ ⎝
○ π
a0
a1
.
bm
⎧
⎨
⎧
⎪⎨
⎪⎩
⎩
⎞
0 p = q ,
π p = q = 0 ,
0 p = q ,
π p = q = 0 ,
2π p = q = 0 .
⎛
⎟
⎠ =
⎜
⎝
(f, 1)
(f, cos x)
.
(f, sen mx)
⎞
a0
a1
.
bm
⎟
⎠ ,
⎞
⎟
⎠