Cálculo Numérico - Engenharia Civil UEM

CAPÍTULO 10. APROXIMAÇÃO DE FUNÇÕES: MÉTODOS DE INTERPOLAÇÃO POLINOMIAL291
Assim, vemos que P1(x) pode ser escrito na forma de determinante, isto é:
P1(x) =
1
f(b)
b − a f(a)
x − b
x − a =
1
b − a
f(a)
f(b)
a − x
b − x . (10.18)
Se f(x) é contínua em [a, b] e f ′′ (x) existe em cada ponto de (a, b), temos, para a ≤ x ≤ b, que:
R1(f; x) = f(x) − P1(f; x) =
(x − a) (x − b)
2!
f ′′ (ξ), a < ξ < b . (10.19)
Podemos determinar, no caso de interpolação linear, além do resultado obtido em (10.17), o seguinte:
consideremos (10.19) e suponhamos, além disso que f ′′ (x) seja contínua em [a, b]. O polinômio |(x −
a)(x − b)| atinge seu máximo, para a ≤ x ≤ b, em x = 1 2 (a + b) e este máximo é 1 4 (b − a)2 . Podemos,
então, escrever:
|R1(f; x)| ≤ 1 (b − a)
2!
2
max
4 a≤t≤b |f ′′ (t)| , (10.20)
ou
|R1(x)| ≤ 1
8 (b − a)2 M1 , (10.21)
onde M1 é um limitante superior para f ′′ (t) em [a, b].
Exemplo 10.5 - Usando a tabela do exemplo 10.4, calcular f(0.25) através de interpolação linear e dar
um limitanter superior para o erro de truncamento.
Solução: Da tabela do exemplo anterior, temos:
a = 0.2 , f(a) = 0.3644 ,
e
b = 0.3 , f(b) = 0.7379 ,
desde que f(x) = x e3x . Assim, usando (10.18), segue que:
P1(0.25) =
1
f(a) a − x
b − a f(b) b − x =
1
0.3 − 0.2
Logo:
=
1
× 0.05 × (0.7379 + 0.3644) .
0.1
P1(0.25) = 0.5512 f(0.25) .
Agora, pelo Exemplo 10.4, temos que: f ′′ (t) = e 3t (6 + 9) t. Portanto
Segue, de (10.21) que:
0.3644 0.2 − 0.25
0.7379 0.3 − 0.25
max
a≤t≤b |f ′′ (t)| = 2.4596(6 + 2.7) = 21.3985 = M1 .
|R1(x)| ≤ 1
8 (0.3 − 0.2)2 × 21.3985 0.02673 2 × 10 −2 .
Isto significa que no resultado obtido para f(0.25) através do polinômio de interpolação linear temos
apenas uma casa decimal correta. De fato, o resultado obtido foi f(0.25) = 0.5512 e se calcularmos o
valor da f no ponto 0.25, numa máquina de calcular, obtemos que f(0.25) = 0.52925.