Cálculo Numérico - Engenharia Civil UEM

CAPÍTULO 11. INTEGRAÇÃO NUMÉRICA 338
O erro na fórmula 1 3
de Simpson generalizada é obtida adicionando-se N erros da forma (11.16) onde
N = b − a.
Assim:
2h
x2N
x0
f(x)dx = h
3 [ f (x0) + 4f (x1) + 2f (x2)
+ . . . + 2f (x2N−2) + 4f (x2N−1) + f (x2N ) ]
− Nh5
90 f (IV ) (ξ) , x0 < ξ < x2N .
= h
3 [ f (x0) + 4f (x1) + 2f (x2)
+ . . . + 2f (x2N−2) + 4f (x2N−1) + f (x2N ) ]
−
(b − a)h4
180
f (IV ) (ξ) , x0 < ξ < x2N .
Deixamos como exercício verificar que a expressão do erro para a regra 3 8 de Simpson, e para regra 3 8
de Simpson generalizada, são dadas, respectivamente, por: é dada por:
desde que N =
Observações:
(b − a)h 4
80
(b − a)
3h .
f (IV ) (ξ) , x0 < ξ < x3N ,
R(f) = − 3
80 h5 f (IV ) (ξ) , x0 < ξ < x3 ,
1) Pelas expressões do erro, vemos que as fórmulas de Simpson são da ordem de h 4 , em símbolo, O(h 4 ),
enquanto que a regra do trapézio é da O(h 2 ). Assim, as regras de Simpsom possuem a mesma ordem
de convergência, portanto ambas convergem para o resultado exato com a mesma velocidade. Para
exemplificar o significado da importância da ordem de convergência, consideremos que a aplicação
das regras de Simpson com um determinado h fornecem o resultado com um erro inferior a 10 −3 .
A aplicação da mesma regra com ¯ h = h 10 fornecerá o resultado com erro inferior a 10−7 . Por outro
lado se o resultado da aplicação da regra do trapézio tiver erro inferior a 10 −1 , com um determinado
h, então o erro será inferior a 10 −3 com ¯ h = h . Portanto quando h → 0, as regras de Simpson
convergem mais rapidamente para o resultado exato da integral.
2) Apesar da fórmula 1 3
de Simpson ter sido obtida aproximando-se a função por polinômio de grau 2,
ela é exata também para polinômios de grau 3, visto que na fórmula do erro aparece a derivada
quarta da função f. Pode ser demonstrado que se n é par então as fórmulas de Newton-Cotes do
tipo fechado têm grau de precisão n + 1.
3) Para obter o resultado de uma integral com uma determinada precisão, podemos utilizar a fórmula
do erro, impondo que a mesma, em módulo, seja inferior a 0.5 × 10 −k , onde k é o número de casas
decimais corretas que desejamos no resultado, e assim obter o número de intervalos necessários, (ver