Cálculo Numérico - Engenharia Civil UEM

CAPÍTULO 4. SOLUÇÃO DE SISTEMAS LINEARES: MÉTODOS EXATOS 131
⎛
⎞
a11 a12 a13 . . . a1n
⎜ a21 a22 a23 ⎜
. . . a2n ⎟
A = ⎜ a31 a32 a33 ⎜
. . . a3n ⎟
⎝ . . . . . . . . .
⎠ .
an1 an2 an3 . . . ann
Desde que existe uma lei de formação para os elementos diagonais e outra para os não diagonais de
G, veremos em separado como obter tais fórmulas.
a) Elementos diagonais de G .
Os elementos diagonais aii de A são iguais ao produto da linha i de G pela coluna i de G t . Veja que
este produto é equivalente a multiplicarmos a linha i de G por ela mesma. Portanto:
a11 = g 2 11 ,
a22 = g 2 21 + g 2 22 ,
. . .
ann = g 2 n1g 2 n2 + . . . + g 2 nn .
Logo, os elementos diagonais de G são dados por:
⎧
⎪⎨
g11 = √ a11 ,
⎪⎩
gii =
b) Elementos não diagonais de G.
aii − i−1 k=1 g2 1/2 ik
, i = 2, 3, . . . , n.
b.1) 1 ā coluna : Os elementos da 1 ā coluna de G, são obtidos igualando-se os elementos da 1 ā
coluna de A com o produto de cada linha de G pela 1 ā coluna de G t . Observe que este produto pode
ser obtido multiplicando-se cada elemento da 1 ā coluna de G (abaixo da diagonal) pela 1 ā linha de G .
Assim:
a21 = g21 g11 ,
a31 = g31 g11 ,
. . .
an1 = gn1 g11 .
⇒ gi1 = ai1
g11
, i = 2, 3, . . . , n.
b.2) 2 ā coluna: Os elementos da 2 ā coluna de G, são obtidos igualando-se os elementos da 2 ā
coluna de A (abaixo da diagonal principal) com o produto de cada linha de G pela 2 ā coluna de G t .
Observe que este produto pode ser obtido multiplicando-se cada linha de G (abaixo da diagonal) pela 2 ā
(4.9)