Cálculo Numérico - Engenharia Civil UEM

CAPÍTULO 10. APROXIMAÇÃO DE FUNÇÕES: MÉTODOS DE INTERPOLAÇÃO POLINOMIAL306
10.19 - Dada a função tabelada:
x 0 1 1.5 2.5 3.0
f(x) 1.0 0.5 0.4 0.286 0.25
a) Determinar o polinômio de interpolação de Newton sobre 2 pontos (interpolação linear).
a) Determinar o polinômio de interpolação de Newton sobre 3 pontos (interpolação quadrática).
b) Calcular f(0.5), usando o item a) e o item b).
Lembre-se que o polinômio de Newton sobre 3 pontos é igual ao polinômio sobre 2 pontos adicionado
ao termo de ordem 2. Além disso, o ponto x0 deve ser comum aos 2 polinômios. Portanto tome cuidado
ao escolher os pontos.
10.20 - Considerando a função f(x) = √ x tabelada:
x 1.00 1.10 1.15 1.25 1.30
f(x) 1.000 1.048 1.072 1.118 1.140
a) Determinar o valor aproximado de √ 1.12 usando polinômio de interpolação de Newton sobre
3 pontos.
b) Calcular um limitante superior para o erro.
10.21 - Sabendo-se que a equação x 4 +6x 2 −1 = 0 tem uma raiz em [0,1], determinar o valor aproximado
dessa raiz usando polinômio de interpolação de Newton sobre 3 pontos.
10.22 - Dada a tabela:
x 1 1.01 1.02 1.03 1.04 1.05
√ x 1 1.005 1.01 1.0149 1.0198 1.0247
a) Calcular √ 1.035 por meio de um polinômio de interpolação de grau adequado.
b) Dar uma estimativa para o erro de truncamento.
10.7.5 Diferenças Ordinárias
Do mesmo modo que no caso de Lagrange, existe uma fórmula mais simples para o polinômio de
interpolação quando os argumentos xi são igualmente espaçados. Consideremos então a construção do
polinômio de interpolação quando os argumentos xi são igualmente espaçados de, digamos, h = 0.
Para tanto, precisamos da noção de diferença ordinária de uma função. Assim:
Definição 10.3 - Sejam x0, x1, . . . , xn, n + 1 pontos distintos em [a, b] tais que xi+1 − xi = h, i =
0, 1, . . . , n − 1 e sejam f0, f1, . . . , fn, n + 1 valores de uma função y = f(x) sobre x = xk, k = 0, . . . , n.
Define-se:
∆0f (xk) = f (xk) ,
(10.31)
∆ r f (xk) = ∆ r−1 f (xk + h) − ∆ r−1 f (xk) ,
onde ∆ r f (xk) é a diferença ordinária de f(x) de ordem r em x = xk.