Cálculo Numérico - Engenharia Civil UEM

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CAPÍTULO 5. SOLUÇÃO DE SISTEMAS LINEARES: MÉTODOS ITERATIVOS 189 A análise completa de tal circuito requer a determinação dos valores das correntes da malha ik, indicados na figura, para os valores especificados das fontes de tensão e dos resistores. é necessário, então, formular um sistema de equações simultâneas com as quantidades ik como incógnitas. Cada uma das equações de tal sistema é determinada pela aplicação da lei de Kirchoff em torno das malhas. Por exemplo, para a malha definida pela corrente i1, temos: R1i1 + R2(i1 − i2) + R7(i1 − i4) = V1 . Fazendo um cálculo semelhante para as outras malhas obtemos um sistema de 6 equações nas incógnitas i1, i2, i3, i4, i5, i6. Resolver este problema para os seguintes dados: e onde R em Ohms e V em Volts. R = (10, 13, 7, 12, 20, 5, 6, 10, 8, 9, 20) t , V = (29, 32, 37, 24, 24, 34) t , 5.7 - Numa treliça estaticamente determinada com juntas articuladas, como dada na figura a seguir: 45 o F1 ■ ❄ F2 1000 ❄ F3 F4 F6 F5 30 o ✯ ❄ ✻500 ❅ ❅❅❅❅❅❅ F7 500 ❄ F8 F9 45 o ✯ ❄ ❞ ❞ ❞ a tensão, (Fi ), em cada componente pode ser obtida da seguinte equação matricial: ⎛ 0.7071 ⎜ 0.7071 ⎜ 0 ⎜ 0 ⎜ 0 ⎜ 0 ⎜ 0 ⎝ 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1 0 −1 0 0 0 0 −1 0 0 0 0 0 0 0 −0.8660 0.5 0 0 0 0 0.8660 −0.5 0 0 −1 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 −1 0 0 0 0 0 0 −1 0 ⎞ 0 0 ⎟ 0 ⎟ 0 ⎟ 0.7071 ⎟ −0.7071 ⎟ 0 ⎟ 0 ⎠ ⎛ ⎞ 0 ⎜ −1000 ⎟ ⎜ 0 ⎟ ⎜ 0 ⎟ F = ⎜ 500 ⎟ ⎜ 0 ⎟ ⎜ 0 ⎟ ⎝ −500 ⎠ . 0 0 0 0 0 0 0 1 0.7071 0 Observe que as equações são obtidas fazendo-se a soma de todas as forças horizontais ou verticais em cada junta igual a zero. Além disso a matriz dos coeficientes é bastante esparsa, e assim um candidato natural é o método de Gauss-Seidel. a) As equações podem ser rearranjadas de modo a se obter uma matriz estritamente diagonalmente dominante?
CAPÍTULO 5. SOLUÇÃO DE SISTEMAS LINEARES: MÉTODOS ITERATIVOS 190 b) É o sistema convergente se iniciarmos com um vetor com todas as componentes iguais a zero? c) Resolva o sistema pelo método de Gauss-Seidel, partindo do vetor nulo e obtendo a solução com precisão de 10 −4 . 5.8 - O circuito mostrado a seguir é frequentemente usado em medidas elétricas e é conhecido com uma ”Ponte de Wheatstone”. E A I1 I2 ❅ ❅❘ R1 R2 I5 B C R5 R4 R3 I4 I3 I6 ✛ D ❅ ❅ ❅ ✠ ❅ ✲ ❅ ❅ ❅ ❅❘ ✠ ❅ ❅ ❅❅❅ ❅ ❅ As equações que governam o sistema são obtidas a partir da lei de Kirchoff. Para a malha fechada através da bateria e ao longo de ABD, temos: Para a a malha fechada ABCA: Para a malha fechada BCDB: Para o nó A: Para o nó B: Para o nó C: I1R1 + I4R4 − E = 0 (1) I1R1 + I5R5 − I2R2 = 0 (2) I5R5 + I3R3 − I4R4 = 0 (3) I6 = I1 + I2 (4) I1 = I5 + I4 (5) I3 = I2 + I5 (6) onde Ri representam as resistências; Ii as correntes e E a voltagem aplicada. Determinar as correntes no problema proposto quando: E = 20 V olts, R1 = 10 Ohms e R2 = R3 = R4 = R5 = 100 Ohms.
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Referências Bibliográficas [1] AC
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