Cálculo Numérico - Engenharia Civil UEM

CAPÍTULO 13. SOLUÇÃO NUMÉRICA DE EQUAÇÕES DIFERENCIAIS PARCIAIS 461
caracterizam-se pela propagação de suas propriedades físicas em todas as direções coordenadas indistintamente,
ao contrário das equações parabólicas e hiperbólicas onde essas propriedades propagam-se em
direções preferenciais. Daí porque as condições de fronteira de um problema elíptico são normalmente
especificadas ao longo de toda a fronteira.
Seja R uma região limitada do plano com fronteira ∂R. A equação
a(x, y) ∂2u ∂x2 + 2b(x, y) ∂2u ∂x∂y + c(x, y)∂2 u
= d
∂y2
x, y, u, ∂u
∂u
,
∂x ∂y
(13.69)
de acordo com a definição apresentada na seção 2.2 do capítulo 2 é elíptica em R se b 2 − ac < 0 para
todo ponto (x, y) de R. Como já observado anteriormente uma equação diferencial como (13.69) necessita
de condições iniciais e/ou de fronteria para constituir-se num problema bem posto. Isto ocorre porque,
suponha que w seja uma solução da equação (13.69) com d ≡ 0, então v = u + αw será uma solução de
(13.69) para qualquer valor de α, onde u é uma solução particular de (13.69). Esta observação indica a
possibilidade de que a equação (13.69) sozinha tenha infinitas soluções e portanto precisamos de condições
adicionais para assegurar unicidade.
Imaginamos que não seja dificil para o leitor compreender a necessidade de um problema ter uma
única solução para que seu tratamento numérico possa ser considerado. Não faria muito sentido tentar
aproximar a solução de um problema para o qual não existe uma, ou que tenha uma infinidade delas,
caso em que o método numérico ficaria totalmente indeciso sobre qual delas perseguir. De forma que
parece claro que só tem sentido tentar resolver numéricamente um problema com solução única. Já a
importância da continuidade em relação aos dados iniciais, para a solução numérica, pode não ser tão
óbvia. Ocorre que quando resolvemos um problema numéricamente, estamos fazendo aproximações, e
tudo se passa como se na verdade estivessemos resolvendo um outro problema cujos dados iniciais sofreram
uma pequena perturbação. Se o problema não se comporta bem com relação à pequenas perturbações
nesses dados, a solução numérica obtida será desastrosa.
Vimos então a necessidade de que à equação (13.69) seja adicionada condições de fronteira e que essas
condições de fronteira devem ser escolhidas de maneira a resultar em um problema bem posto. Felizmente,
a maioria dos problemas que reclamam um tratamento numérico provêm de aplicações práticas e essas
mesmas aplicações determinam as condições de fronteira, formando problemas bem postos.
Três tipos de problemas distintos envolvendo a equação (13.69) podem ser destacados dependendo
das condições de fronteira:
• (i) o problema de Dirichlet, requer que a solução u de (13.69) seja conhecida sobre a fronteira ∂R,
isto é,
u(x, y) = f(x, y), (x, y) ∈ ∂R.
• (ii) quando ∂u
∂n
é conhecida sobre ∂R, ou seja,
∂u
= g(x, y), (x, y) ∈ ∂R,
∂n
onde n é a normal externa à fronteira ∂R, o problema de valor de fronteira é conhecido como
problema de Neumann.
• (iii) o problema de Robbins ou misto, surge quando conhecemos
onde α(x, y) > 0, β(x, y) > 0, (x, y) ∈ ∂R.
α(x, y)u + β(x, y) ∂u
= γ(x, y) sobre ∂R,
∂n