Cálculo Numérico - Engenharia Civil UEM

CAPÍTULO 10. APROXIMAÇÃO DE FUNÇÕES: MÉTODOS DE INTERPOLAÇÃO POLINOMIAL300
(1) f [x0, x] =
f[x] − f [x0]
x − , definida em [a, b], para x = x0.
x0
(2) f [x0, x1, x] = f [x0, x] − f [x0, x1]
x − , definida em [a, b],
x1
.
para x = x0 e x = x1.
(n+1) f [x0, x1, . . . , xn, x] = f [x0, x1, . . . , xn−1, x] − f [x0, x1, . . . , xn]
x − ,
xn
definida em [a, b], para x = xk, k = 0, 1, . . . , n.
Observe que nas funções definidas acima acrescentamos, sucessivamente, na diferença dividida o
próximo ponto da tabela. Em todas estamos aplicando o Corolário 10.3. Nosso objetivo agora é encontrar
uma fórmula de recorrência para f(x). Assim, de (1) temos que:
De (2), (usando (1)), obtemos:
f(x) = f [x0] + (x − x0) f [x0, x] .
f [x0, x1, x] (x − x1) = f [x0, x] − f [x0, x1]
⇒ f [x0, x1, x] (x − x1) =
f[x] − f [x0]
x − x0
− f [x0, x1]
⇒ f(x) = f [x0] + (x − x0) f [x0, x1] + (x − x0) (x − x1) f [x0, x1, x] .
De maneira análoga, de (n+1), obtemos:
f(x) = {f [x0] + (x − x0) f [x0, x1] + (x − x0) (x − x1) f [x0, x1, x2]
+ (x − x0) (x − x1) (x − x2) f [x0, x1, x2, x3] + . . .
+ (x − x0) (x − x1) . . . (x − xn−1) f [x0, x1, . . . , xn] } 1
+ {(x − x0) (x − x1) . . . (x − xn) f [x0, x1, . . . , xn, x]} 2 .
(10.27)
Temos assim, obtido uma fórmula de recorrência para f(x). Vejamos o que significam {. . .}1 e {. . .}2
em (10.27).
Teorema 10.6 O polinômio:
Pn(x) = f [x0] + (x − x0) f [x0, x1]
+ . . . + (x − x0) . . . (x − xn−1) f [x0, x1, . . . , xn] = {. . .} 1
é o polinômio de interpolação da função y = f(x) sobre os pontos x0, x1, . . . , xn, isto é, Pn(xk) =
f(xk), k = 0, 1, . . . , n.