Cálculo Numérico - Engenharia Civil UEM

CAPÍTULO 5. SOLUÇÃO DE SISTEMAS LINEARES: MÉTODOS ITERATIVOS 171
e
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Além disso: ⎛
(b, v) = −v1 − 100v2 .
F (v) = 1
2 (100v2 1 + 2v1v2 + 100v 2 2) − v1 − 100v2 .
⎜
⎝
∂ 2 F
∂v 2 1
∂ 2 F
∂v2∂v1
que é uma matriz positiva definida.
∂ 2 F
∂v1∂v2
∂ 2 F
∂v 2 2
⎞
⎟
⎠ =
⎛
100
⎝
1
⎞
1
⎠ = A ,
100
Portanto F (v) tem ponto de mínimo em (0, 1), que é a solução do sistema. O valor do mínimo é
Fmin = −50. Assim, apesar da forma quadrática ser positiva definida, o mínimo pode ser negativo.
Observe que os métodos de relaxação são usados apenas para sistemas cuja matriz dos coeficientes
são positivas definidas. Se A é não singular, mas não é positiva definida não podemos aplicar o raciocínio
apresentado. Os métodos de relaxação nestes casos não convergem.
5.3.1 Príncipios Básicos do Processo de Relaxação
Sejam v a solução inicial e r = Av + b o resíduo. Escolhemos uma direção p e variamos v nessa
direção, com o objetivo de diminuir F (v), para ir atingindo seu ponto do mínimo que é a solução do
sistema; ou seja, tentamos anular o resíduo na direção p.
Assim, variando v na direção p, isto é, tomando:
v ′ = v + tp ,
procuramos determinar o parâmetro t de modo que a função F diminua. Logo devemos procurar o
mínimo de F na direção p. Temos então que:
desde que 1 2
F (v ′ ) = 1
2 (Av′ , v ′ ) + (b, v ′ )
= 1
(A(v + tp), v + tp) + (b, v + tp)
2
= 1
2
(Av, v) + 2t(Av, p) + t 2 (Ap, p)
+ 2(b, v) + 2t(b, p)]
[(Av, v) + 2t(b, v)] = F (v). Portanto:
= F (v) + t2
(Ap, p) + t(Av + b, p) .
2
F (v ′ ) = F (v) + t2
(Ap, p) + t(r, p) ,
2