Cálculo Numérico - Engenharia Civil UEM

CAPÍTULO 3. EQUAÇÕES NÃO LINEARES 86
e assim podemos escrever que:
1 2 −0.85 −1.7
0.9220 0.9220 2.6941 1.7002
1 2.9220 1.8441 0.0002
Q(x) = x 2 + 2.9220 x + 1.8441 .
Usando a fórmula que nos fornece as raízes de uma equação do segundo grau, obtemos que as outras
duas raízes de P (x) são: ¯x = −0.9235 e ¯x = −1.9985.
Exercícios
3.21 - Calcular P (5) e P ′ (5) para o polinômio: P (x) = x 5 − 3x 4 + 2x 2 − 3x + 5.
3.22 - Determinar todas as raízes do polinômio: P (x) = x 3 − 5x 2 − x + 5 = 0, com precisão de 10 −2 ,
usando o método de Newton e o algoritmo de Briot-Ruffini-Horner para o cálculo da primeira raiz.
3.23 - Use o método das secantes e o algoritmo de Briot-Ruffini para determinar a única raiz negativa
da equação f(x) = x 3 − 2x 2 − x + 2 = 0, com precisão de 10 −2 .
3.24 - A equação f(x) = x 3 − 0.5 = 0 possui uma raiz entre 0.5 e 1.0. usando o método Regula Falsi
e o algoritmo de Briot-Ruffini determinar essa raiz com precisão de 10 −2 .
3.7.2 Determinação de Raízes Complexas
O método de Newton pode ser usado também para calcular as raízes complexas de polinômios. Neste
caso entretanto devemos usar aritmética complexa. Veremos aqui como determinar as raízes complexas
de um polinômio usando aritmética real.
Se P (x) é um polinômio da forma (3.15) com coeficientes reais, as raízes complexas ocorrem, então, em
pares conjugados, e, correspondendo a cada par de raízes complexas conjugadas, há um fator quadrático
de P (x) da forma:
x 2 − α x − β ,
onde α e β são números reais. Consideremos, primeiramente, a divisão de um polinômio P (x) de grau
n > 2 por um fator quadrático. É claro que, em geral, podemos expressar P (x) na forma:
P (x) = x 2 − α x − β Q(x) + b1(x − α) + b0 , (3.19)
onde Q(x) é um polinômio de grau n − 2, que representamos na forma:
Q(x) = bn x n−2 + bn−1 x n−3 + . . . + b2 , (3.20)
e b1(x − α) + b0 é o resto.
É conhecido da teoria dos polinômios que x 2 − α x − β será um divisor exato de P (x) se e somente
se, b1 = b0 = 0. Quando b1 = b0 = 0, a expressão (3.19) torna-se:
P (x) = x 2 − α x − β Q(x) .
Portanto as raízes de x 2 − α x − β e as raízes de Q(x), serão, também, raízes de P (x). Nosso objetivo
é então obter coeficientes α e β, de tal forma que x 2 − αx − β seja um divisor exato de P (x), pois teremos
duas raízes a partir do fator quadrático e as demais poderemos obter através do polinômio Q(x). Para