Cálculo Numérico - Engenharia Civil UEM

CAPÍTULO 4. SOLUÇÃO DE SISTEMAS LINEARES: MÉTODOS EXATOS 120
Passamos então da matriz inicial à matriz:
⎛
onde: ⎧⎪ ⎨
⎪⎩
⎜
⎝
a (2)
ij
a (1)
11
a (1)
12
a (2)
22
a (1)
13 . . . a (1)
1n | b (1)
|
1
a (2)
23 . . . a (2)
2n | b (2)
|
2
. . . |
|
a (2)
n2
= a(1)
ij
b (2)
i = b (1)
i
a (2)
n3 . . . a (2)
nn | b (2)
n
− a(1)
1j
− b(1) 1
Observe que da fórmula acima deduzimos que:
a (2)
22
= a(1)
22
a
− a(1) 12
(1)
21
a (1)
11
pois por hipótese det(A2) = 0 e det(A1) = a (1)
11
a (1)
i1
a (1)
11
a (1)
i1
a (1)
11
= a(1) 22 a(1) 11 − a(1) 12 a(1) 21
a (1)
11
= 0.
,
.
⎞
⎟ ,
⎟
⎠
i = 2, 3, . . . , n ;
j = 1, 2, . . . , n .
,
= det(A2)
a (1)
11
Segundo Passo: Eliminar a incógnita x2 da 3 ā, 4 ā, . . ., n ā equações (isto é, zerar os elementos da
segunda coluna abaixo da diagonal); para isso, substituímos a 3 ā, 4 ā, . . ., n ā equações, respectivamente,
pela diferença entre a 3ā equação e a 2ā equação multiplicada por a(2) 32
a (2)
22
pela diferença entre a 4ā equação e a 2ā equação multiplicada por a(2) 42
a (2)
22
- - - - - - - - - - -
pela diferença entre a n ā equação e a 2 ā equação multiplicada por a(2)
n2
a (2)
22
Obtemos então a matriz:
⎛
⎜
⎝
a (1)
11
a (1)
12
a (2)
22
a (1)
13 . . . a (1)
1n | b (1)
1
|
a (2)
23 . . . a (2)
2n | b (2)
2
|
a (3)
33 . . . a (3)
3n | b (3)
3
|
. . . |
|
a (3)
n3 . . . a (3)
nn | b (3)
n
.
⎞
⎟ ,
⎟
⎠
,
,
.
= 0 ,