Cálculo Numérico - Engenharia Civil UEM

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CAPÍTULO 8. APROXIMAÇÃO DE FUNÇÕES: MÉTODO DOS MÍNIMOS QUADRADOS 263 Esse problema, como sabemos, pode ser facilmente resolvido, determinando-se a projeção de y ∈ IR n sobre o subespaço gerado pelos vetores: ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ g1 = ⎜ ⎝ x11 x21 . xn1 ⎟ ⎠ ; g2 ⎜ = ⎜ ⎝ x12 x22 . xn2 ⎟ ⎠ , . . . , gm ⎜ = ⎜ ⎝ uma vez que o vetor z que procuramos, tal que z − y 2 seja mínima, pode ser expresso como: z = c1g1 + c2g2 + . . . + cmgm . Isto é, z ∈ ao sub-espaço gerado por g1, g2, . . . , gm. Supondo os gi, i = 1, . . . , m, linearmente independentes, a solução do problema é dada por: ⎛ ⎜ ⎝ (g1, g1) (g1, g2) . . . . . . (g2, g1) (g2, g2) . . . . . . (gm, g1) (gm, g2) ⎞ ⎛ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎠ ⎜ ⎝ c1 c2 . ⎞ ⎟ ⎠ (g1, gm) (g2, gm) . . . (gm, gm) = ⎛ ⎜ ⎝ (y, g1) (y, g2) . ⎞ ⎟ , ⎠ (8.17) (y, gm) onde: (gi, gj) = n k=1 cm xki xkj ; (y, gj) = n k=1 yk xkj . x1m x2m . xnm ⎟ ⎠ , Exemplo 8.10 - Determinar, pelo método dos mínimos quadrados, o valor de c na equação: sabendo-se que c satisfaz às equações: Solução: Temos que: onde: g1 = Assim, o sistema (8.17) reduz-se a: ⎛ ⎝ 2 3 4 y = cx , 2c = 3 3c = 4 4c = 5 ⎞ ⎠ e y = (g1, g1) c = (y, g1) ⎛ ⎝ 3 4 5 (g1, g1) = 4 + 9 + 16 = 29 , ⎞ ⎠ . (y, g1) = 6 + 12 + 20 = 38 ,
CAPÍTULO 8. APROXIMAÇÃO DE FUNÇÕES: MÉTODO DOS MÍNIMOS QUADRADOS 264 Logo: 29 c = 38 ⇒ c = 38 29 . Portanto a reta procurada é: y = 38 29 x. Note que o caso acima é um caso particular do problema de se determinar c tal que: y = cx . O sistema (8.16) reduz-se a um sistema de n equações a uma incógnita: Como é fácil de se verificar, c deve satisfazer: x1 c = y1 x2 c = y2 . xn c = yn c = (g1, y) (g1, g1) = n k=1 xk yk n k=1 x2 k Nesse caso, c é geometricamente interpretado como o coeficiente angular da reta através da origem, y = cx, que está tão próximo quanto possível dos pontos (x1, y1), (x2, y2), . . . , (xn, yn). Exercícios: 8.17 - Determinar a melhor solução para o sistema: ⎧ ⎪⎨ x1 2x1 − + x2 x2 = = −1 −2 −x1 2x1 ⎪⎩ 3x1 − + − 3x2 3x2 2x2 = = = 1 −2 −3 8.18 - Resolver, pelo método dos mínimos quadrados, o sistema: ⎧ ⎪⎨ 3x1 x1 + + x2 2x2 − + x3 x3 = = 2 3 2x1 −x1 ⎪⎩ −2x1 − + − x2 x2 3x2 + − − 3x3 x3 2x3 = = = −1 0 2 .
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Universidade de São Paulo Institut
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4 Solução de Sistemas Lineares: M
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12.3.3 Ordem e Constante do Erro .
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Capítulo 2 Análise de Arredondame
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Referências Bibliográficas [1] AC
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