Cálculo Numérico - Engenharia Civil UEM

CAPÍTULO 3. EQUAÇÕES NÃO LINEARES 89
que os bk são todos funções de β, exceto bn e bn−1. Portanto:
∂bn
∂β
∂bn−2
∂β
= ∂bn−1
∂β
= bn ,
= 0 ,
∂bn−3
∂β = bn−1 + α ∂bn−2
∂β
∂bn−4
∂β = bn−2 + α ∂bn−3
∂β
. . . . . .
∂b1
∂β = b3 + α ∂b2
∂β
∂b0
∂β = b2 + α ∂b1
∂β
,
+ β ∂b3
∂β ,
+ β ∂b2
∂β .
+ ∂bn−2
∂β
Fazendo di+2 = ∂bi , i = n − 2, n − 3, . . . , 1, 0, temos que (3.27) pode ser escrito como:
∂β
dn = bn ,
dn−1 = bn−1 + αdn ,
dn−2 = bn−2 + αdn−1 + βdn ,
cn−3 = bn−3 + αdn−2 + βdn−1 ,
.
d3 = b3 + αd4 + βd5 ,
d3 = b3 + αd4 + βd5 .
Comparando (3.28) com (3.25) vemos que dk = ck, k = 2, 3, . . . , n. Portanto:
∂b0
∂β = d2 = c2 ,
,
(3.27)
(3.28)
∂b1
∂β = d3 = c3 . (3.29)
Assim, usando (3.26) e (3.30), as equações (3.23) empregadas para a determinação das correções
δα0, δβ0, tornam-se: ⎧
⎨ c2 δα0 + c3 δβ0 = − b1 (α0, β0)
⎩
c1 δα0 + c2 δβ0 = − b0 (α0, β0)
(3.30)
Esse método para a determinação de um fator quadrático de um polinômio e as correspondentes raízes
é chamado Método de Newton-Bairstow.
O método de Newton-Bairstow se constitui num poderoso e eficiente algoritmo para o cálculo das
raízes complexas de polinômios. Poderoso porque converge quadraticamente e eficiente porque fornece
um algoritmo simples para a obtenção das derivadas parciais requeridas. Sua maior deficiência é que
muitas vezes é difícil selecionar adequadamente as aproximações iniciais (α0, β0) a fim de garantir a
convergência. Entretanto, podemos obter (α0, β0), usando o algoritmo Q-D, (ver próxima seção). Observe
que o método de Newton-Bairstow pode ser utilizado para obter as raízes reais (desde que uma raiz real
pode ser considerada uma raiz complexa cuja parte imaginária é zero) de polinômios com a vantagem de
se conseguir duas raízes de cada vez.