Cálculo Numérico - Engenharia Civil UEM

CAPÍTULO 7. DETERMINAÇÃO NUMÉRICA DE AUTO-VALORES E AUTO-VETORES 203
ou seja: dado um vetor y0 qualquer, não nulo, construímos a sequência:
Assim, para obtermos λ1, calculamos:
z1 = Ay0
y1 = 1
z1 = 1
Ay0
α1
z2 = Ay1 = 1
y2 = 1
z2 =
α2
z3 = Ay2 =
α1
A
α1
2 y0
1
A
α1α2
2 y0
1
A
α1α2
3 y0
.
yk = 1
zk
αk
=
1
A
α1α2 . . . αk
k y0
zk+1 = Ayk =
1
A
α1α2 . . . αk
k+1 y0.
lim
k→∞
(zk+1) r
(yk) r
= lim
k→∞
k+1 A y0 r
(Aky0) r
= λ1 .
Observe que podemos garantir que o valor resultante fornece λ1 desde que obtemos a mesma expressão
dada por (7.9). Assim, pelo algoritmo, temos que:
Observações:
(zk+1)
r
lim
k→∞ (yk) r
= λ1 . (7.10)
a) No limite, todas as componentes de (zk+1)
r de (7.10), tendem a λ1. Entretanto, na prática, uma
(yk) r
das componentes converge mais rapidamente do que as outras. Assim, quando uma das componentes
satisfizer a precisão desejada teremos o auto-valor procurado. Além disso, a velocidade de
convergência depende de λ2
λ1 . Portanto, quanto maior for |λ1| quando comparado com |λ2|, mais
rápida será a convergência.
b) Para obtermos λ1 com uma precisão ɛ, em cada passo calculamos aproximações para λ1 usando
(7.10). O teste do erro relativo para cada componente de λ1, isto é:
é usado como critério de parada.
|λ (k+1)
1
− λ (k)
1 |r
|λ (k+1)
1 |r
c) Quando todas as componentes de (7.10) forem iguais, então o vetor yk dessa iteração é o auto-vetor
correspondente ao auto-valor λ1.
d) Se algum vetor resultar no vetor nulo, o método falha. Tal acontecimento deve ocorrer se as hipóteses
não foram satisfeitas.
< ɛ ,