Cálculo Numérico - Engenharia Civil UEM

CAPÍTULO 10. APROXIMAÇÃO DE FUNÇÕES: MÉTODOS DE INTERPOLAÇÃO POLINOMIAL292
Exercícios:
10.10 - Sabendo-se que √ 1.03 = 1.0149 e √ 1.04 = 1.0198,
a) calcular √ 1.035, por interpolação linear,
b) dar um limitante superior para o erro de truncamento.
10.11 - O valor de log1012.7 foi computado por interpolação linear sobre os pontos 12 e 13. Mostrar
que o erro de truncamento é ≤ 0.004.
10.12 - Seja a tabela:
Usando interpolação linear sobre pontos adequados:
a) Calcular f0.35 onde f(x) = x 2 e x .
x 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5
e x 1 1.11 1.22 1.35 1.49 1.65
b) Dar um limitante superior para o erro de truncamento.
10.6 Fórmula para Pontos Igualmente Espaçados
Quando os pontos xi, são igualmente espaçados de h = 0, isto é, xi+1−xi = h, i = 0, 1, . . . , n−1, onde
h é um número fixado, há interesse, para futuras aplicações, em se determinar uma forma do polinômio
de interpolação e do erro, em termos de uma variável u, definida da seguinte maneira:
u =
x − x0
h
Em função da variável u, temos os seguintes teoremas.
Teorema 10.3 - Para r inteiro, não negativo,
Prova: (provaremos por indução em r). Assim:
a) Para r = 0, temos, de (10.22), que:
b) Supondo válido para r = p, isto é,
c) Provemos que vale também para r = p + 1.
Temos:
x − xr = (u − r)h .
x − x0 = uh = (u − 0)h.
x − xp = (u − p)h .
x − xp+1 = x − xp + xp − xp+1
Portanto o teorema vale para todo inteiro r ≥ 0.
= x − xp − (xp+1 − xp) = (u − p)h − h
= (u − p − 1)h = (u − (p + 1))h.
. (10.22)