Cálculo Numérico - Engenharia Civil UEM

CAPÍTULO 7. DETERMINAÇÃO NUMÉRICA DE AUTO-VALORES E AUTO-VETORES 222
Solução: Temos:
A1 = A =
A2 = U1L1 =
=
⎛
⎝
⎛
⎝ 1
0 1
0.5 0 1
⎛
⎝
1
0 1
0.1 0 1
A3 = U2L2 =
=
⎛
⎝
A4 = U3L3 =
⎛
⎝
⎞
⎠
⎛
⎝
2.5
0
0
1
1
0
0.25 0 0.5
⎞ ⎛
⎠ ⎝
1
0 1
0.0154 0 1
⎛
⎝
2 0
1
1
0
0.5
⎞
⎠
2.5 0 1
1 0
0.4
2.6
0
0
1
1
0
0.04 0 0.4
⎞
⎠
⎛
⎝
⎞
⎠
⎞
⎞
⎠ = L1U1 ,
⎠ = L2U2 ,
2.6 0
1
1
0
0.3846
2.6154 0 1
0 1 0
0.00592 0 0.3846
⎞
⎠ .
⎞
⎠ = L3U3 ,
Como os elementos abaixo da diagonal principal de A4 são, em módulo menor que 10 −2 ⇒ A4 R.
Assim, os auto-valores de A são:
λ1 2.6154 ,
λ2 = 1 ,
λ3 0.3846 , com ɛ < 10 −2 .
Observe que os auto-valores de A são: 2.618034, 1 e 0.381966.
O método de Rutishauser permite obter também os auto-vetores. Entretanto o cálculo dos autovetores,
por este método, é um tanto trabalhoso e assim será omitido. O leitor interessado pode encontrar
a descrição do método, por exemplo em [Fox, 19..].
Exercícios
7.11 - Usando o método LR, determine os auto-valores das matrizes:
⎛
3 0
⎞
1
⎛
5 1 0
A = ⎝ 0 2 2 ⎠ , B = ⎝ −1 3 1
1 2 5
−2 1 10
com precisão de 10 −2 .
7.12 - Considere a matriz:
⎛
A = ⎝
5 0 1
0 1 0
5 0 1
Usando o método LR, uma única vez, isto é, até determinar A2, é possível estimar os auto-valores de
A?
⎞
⎠ .
⎞
⎠ ,