Cálculo Numérico - Engenharia Civil UEM

CAPÍTULO 8. APROXIMAÇÃO DE FUNÇÕES: MÉTODO DOS MÍNIMOS QUADRADOS 244
A menos que seja sugerido o produto escalar a ser utilizado, usa-se o produto escalar usual do IR n+1 ,
isto é:
(x, y) =
n
xi yi,
onde x = (x0, x1, . . . , xn) t e y = (y0, y1, . . . , yn) t .
Exemplo 8.3 Dada a função y = f(x), por meio da tabela:
i=1
x −1 0 1 2
y 0 −1 0 7
ajustá-la por um polinômio do 2 o grau, usando o método dos mínimos quadrados.
Solução: Neste caso queremos: f(x) P2(x) = a0 + a1 x + a2 x 2 . Assim, devemos construir
p = a0 u0 + a1 u1 + a2 u2.
Fazendo:
y =
⎛
⎜
⎝
0
−1
0
7
devemos resolver o sistema:
⎛
⎞
⎟
⎠ ; u0 =
⎛
⎜
⎝
1
1
1
1
⎞
⎝ (u0, u0) (u1, u0) (u2, u0)
(u0, u1) (u1, u1) (u2, u1)
(u0, u2) (u1, u2) (u2, u2)
⎟
⎠ ; u1 =
Usando o produto escalar usual do IR 4 , segue que:
⎞
⎠
⎛
⎛
⎜
⎝
⎝ a0
a1
a2
(u0, u0) = 1 + 1 + 1 + 1 = 4 ,
−1
0
1
2
⎞
⎞
⎠ =
⎟
⎠ ; u2 =
⎛
⎝
(y, u0)
(y, u1)
(y, u2)
(u0, u1) = −1 + 0 + 1 + 2 = 2 = (u1, u0) ,
(u0, u2) = 1 + 0 + 1 + 4 = 6 = (u2, u0) ,
(u1, u1) = 1 + 0 + 1 + 4 = 6 ,
(u1, u2) = −1 + 0 + 1 + 8 = 8 = (u2, u1) ,
(u2, u2) = 1 + 0 + 1 + 16 = 18 ,
(y, u0) = 0 + −1 + 0 + 7 = 6 ,
(y, u1) = 0 + 0 + 0 + 14 = 14 ,
(y, u2) = 0 + 0 + 0 + 28 = 28 .
⎛
⎜
⎝
⎞
1
0
1
4
⎠ .
⎞
⎟
⎠ ,