Cálculo Numérico - Engenharia Civil UEM

CAPÍTULO 7. DETERMINAÇÃO NUMÉRICA DE AUTO-VALORES E AUTO-VETORES 200
Observe que se adotamos e = (0, 1, 0) t obtemos u2 = (0, −1, −1) t que é auto-vetor de A correspondente
ao auto-valor λ1 = 1; mas se adotamos e = (0, 0, 1) t obtemos u2 = (0, 0, 0) t e assim com esse
vetor inicial não obtemos uma resposta válida.
b.2) Para λ2 = − √ 2, seja e = (1, 0, 0) t . Assim,
u0 = e ⇒ u0 =
⎛
⎝ 1
⎞
0 ⎠ ,
u1 = λ2u0 + b1
0
⇒ u1 = − √ 2
⎛
⎝ 1
⎞ ⎛
0 ⎠ + ⎝
0
0
0
−1
u2 = λ2u1 + b2 ⇒ u2 = − √ 2
⎛
⎝ −√ 2
0
−1
⎞
⎠ ⇒ u1 =
⎛
⎝ −√ 2
0
−1
⎞ ⎛
⎠ + ⎝ −1
⎞ ⎛
−1 ⎠ ⇒ u2 = ⎝
0
Logo u = (1, −1, √ 2) t é um auto-vetor correspondente ao auto-valor λ2 = − √ 2.
Novamente, observe que se adotamos e = (0, 1, 0) t obtemos u2 = (−1 − √ 2, 1 + √ 2, −2 − √ 2) t ,
enquanto que e = (0, 0, 1) t fornece u2 = (1 + √ 2, −1 − √ 2, 2 + √ 2) t . Ambos são auto-vetores de A
correspondentes ao auto-valor λ2 = − √ 2.
b.3) Para λ3 = √ 2, seja e = (1, 0, 0) t . Assim:
⎛
u0 = e ⇒ u0 = ⎝ 1
0
⎞
⎠ ,
u1 = λ3u0 + b1
0
⇒ u1 = √ ⎛
2 ⎝ 1
0
⎞ ⎛
⎠ + ⎝
0
0
0
−1
u2 = λ3u1 + b2 ⇒ u2 = √ 2
⎛
⎝
√ 2
0
−1
⎞
⎛
⎠ ⇒ u1 = ⎝
⎞ ⎛
⎠ + ⎝ −1
⎞ ⎛
−1 ⎠ ⇒ u2 = ⎝
0
√ 2
0
−1
1
−1
√ 2
⎞
⎠ ,
1
−1
− √ 2
Logo u = (1, −1, − √ 2) t é um auto-vetor correspondente ao auto-valor λ3 = √ 2.
Observe que se adotamos e = (0, 1, 0) t obtemos u2 = (−1 + √ 2, 1 − √ 2, −2 + √ 2) t , enquanto que
e = (0, 0, 1) t fornece u2 = (1 − √ 2, −1 + √ 2, 2 − √ 2) t . Novamente, ambos são auto-vetores de A
correspondentes ao auto-valor λ3 = √ 2.
Finalmente observe que para cada auto-valor λk, a escolha do vetor inicial produz exatamente a coluna
correspondente da matriz Qk. Entretanto, como pode ser observado nesse exemplo, não é necessário
calcular todas as colunas da matriz Qk, isto é , basta uma, pois as colunas não nulas de Qk são múltiplas
uma das outras.
c) Pela 3 a propriedade, temos:
A −1 = 1
B2 ,
p3
⎞
⎠ ,
⎞
⎠ .
⎞
⎠ .