Cálculo Numérico - Engenharia Civil UEM

CAPÍTULO 5. SOLUÇÃO DE SISTEMAS LINEARES: MÉTODOS ITERATIVOS 176
5.3.3 Método dos Gradientes Conjugados
Um outro método de relaxação é o chamado Método dos Gradientes Conjugados.
Definição 5.3 - Dada a aplicação linear A; positiva definida, x e y são direções conjugadas se
(Ax, y) = (x, Ay) = 0 .
O primeiro passo no método dos gradientes conjugados é igual ao primeiro passo do método dos
gradientes; isto é, dado v (0) , calculamos r (0) = Av (0) + b e fazemos:
onde
Portanto:
p (1) = −r (0) ,
v (1) = v (0) − tr (0) ,
t = q1 = − (r(0) , p (1) )
(Ap (1) , p (1) ) = (r(0) , r (0) )
(Ar (0) , r (0) ) .
v (1) = v (0) − (r(0) , r (0) )
(Ar (0) , r (0) ) r(0) . (5.20)
Consideremos a passagem do passo k − 1 para o passo k, (k ≥ 1) .
Tomamos a direção de liberação p (k) de tal modo que p (k) e p (k−1) sejam direções conjugadas, isto é,
p (k) deve ser tal que:
(Ap (k) , p (k−1) ) = (p (k) , Ap (k−1) ) = 0 .
Além disso, p (k) é tomado como combinação linear de r (k−1) e p (k−1) , e desde que o coeficiente de
r (k−1) é não nulo podemos tomá-lo igual −1.
Portanto:
onde αk−1 é um coeficiente a ser determinado.
Temos que, para k = 2, 3, . . .:
p (k) = −r (k−1) + αk−1p (k−1) , k = 2, 3, . . . (5.21)
(p (k) , Ap (k−1) ) = 0
⇒ (−r (k−1) + αk−1p (k−1) , Ap (k−1) ) = 0
⇒ (−r (k−1) , Ap (k−1) ) + αk−1(p (k−1) , Ap (k−1) ) = 0 .
Da expressão acima podemos determinar αk−1, isto é:
αk−1 = (r(k−1) , Ap (k−1) )
(p (k−1) , Ap (k−1) )
, k = 2, 3, . . . . (5.22)
Uma vez, identificada a direção p (k) , procuramos o ponto de mínimo. Assim, de v (k) = v (k−1) + tp (k) ,
obtemos que:
v k = v (k−1) + qkp (k) , (5.23)