Cálculo Numérico - Engenharia Civil UEM

CAPÍTULO 1. CONCEITOS BÁSICOS 29
Exemplo 1.24 - Localizar, usando o teorema de Gerschgorin, os auto-valores de:
⎛
⎞
⎛
⎞
4 −1 1
3 1 0
A = ⎝ 1 1 1 ⎠ , B = ⎝ 1 2 −1 ⎠ .
−2 0 −6
0 −1 0
Solução: Os círculos de Gerschgorin associados com a matriz A são dados por:
Círculo Centro Raio
C1 a11 = 4 r1 = | − 1| + |1| = 2
C2 a22 = 1 r2 = |1| + |1| = 2
C3 a33 = −6 r3 = | − 2| + |0| = 2
Assim para a matriz A, obtemos os círculos ilustrados na Figura 1.5:
eixo
imaginário ✻
✒
2
C3 C2 C1
❅■ 2
❅
❅
1
✒
2
4
✲
−6 eixo
real
Figura 1.5
O primeiro teorema de Gerschgorin indica que os
auto-valores de A estão inseridos nas regiões hachuradas
da Figura 1.5. Além disso, desde que C1 C2
não intercepta C3, pelo segundo teorema de
Gerschgorin, dois desses auto-valores estão em C1 C2 e os restantes dos auto-valores em C3.
Para a matriz B, temos que os círculos de Gerschgorin associados com essa matriz, são dados por:
os quais estão ilustrados na Figura 1.6.
Círculo Centro Raio
C1 b11 = 3 r1 = |1| + |0| = 1
C2 b22 = 2 r2 = |1| + | − 1| = 2
C3 b33 = 0 r3 = |0| + | − 1| = 1
C3
❅■ 1
❅
0
✻
C2
❅■
2
❅
❅■ 1
❅ ❅
2 3
Figura 1.6
C1
Podemos afirmar neste caso, usando os teoremas de Gerschgorin, que os auto-valores da matriz B
estão no intervalo [−1, 4], pois a matriz é real e simétrica.
✲