Cálculo Numérico - Engenharia Civil UEM

CAPÍTULO 4. SOLUÇÃO DE SISTEMAS LINEARES: MÉTODOS EXATOS 141
Análise da Pertubação
Vamos investigar, agora, a condição de um sistema linear não singular Ax = b. Desde que A é não
singular, a solução do sistema é dada por: x = A −1 b.Vamos supor aqui que os dados estão sujeitos a
certas pertubações e vamos analisar o efeito dessas pertubações na solução. Seja x a solução exata do
sistema Ax = b.
1 o caso: Consideremos uma pertubação do vetor b da forma b + δb, e seja A conhecida exatamente.
Portanto a solução x também será pertubada, isto é, teremos x + δx, e assim de:
obtemos:
A(x + δx) = b + δb . (4.17)
(x + δx) = A −1 (b + δb) . (4.18)
A questão que queremos resolver é como relacionar δx com δb, ou seja, sabendo o tamanho da
pertubação em δb como estimar a pertubação em δx? O procedimento a seguir responde essa pergunta.
De (4.17), obtemos:
Ax + Aδx = b + δb ⇒ Aδx = δb ,
desde que Ax = b. Agora desde que A é não singular, segue que:
ou
δx = A −1 δb .
Aplicando norma, em ambos os membros, e usando normas consistentes, obtemos:
Do mesmo modo, de Ax = b, obtemos:
Multiplicando, membro a membro, (4.19) por (4.20), obtemos:
δx ≤ A −1 δb . (4.19)
b ≤ A x . (4.20)
δx b ≤ A A −1 δb x , (4.21)
δx
x ≤ A A−1 δb
b .
Assim a pertubação relativa em x está relacionada com a pertubação relativa em b pela constante
multiplicativa A A −1 .
Definindo, o número de condição de A, como:
obtemos:
Observações:
a) Temos que cond(A) ≥ 1. De fato:
cond(A) = A A −1 ,
δx
x
≤ cond(A) δb
b .
cond(A) = A A −1 ≥ A A −1 = I = 1 .