Cálculo Numérico - Engenharia Civil UEM

Capítulo 1
Conceitos Básicos
1.1 Introdução
Pretendemos neste capítulo relembrar alguns conceitos básicos, que irão facilitar a compreensão dos
métodos numéricos apresentados nos próximos capítulos. A maioria dos conceitos aqui apresentados são
de álgebra linear e isso se deve ao fato de que os resultados da álgebra linear, em geral, e da teoria
dos espaços vetoriais, em particular, na análise numérica é tão grande, que estudo pormenorizado desses
assuntos cada vez mais se justifica. Assim maiores detalhes sobre os assuntos aqui abordados podem ser
encontrados em livros de álgebra linear.
Para iniciar vamos examinar dois conjuntos que certamente já são conhecidos do leitor. O primeiro é
o conjunto dos vetores da geometria, definidos através de segmentos orientados, e o outro é o conjunto
das matrizes reais m × n.
À primeira vista pode parecer que tais conjuntos não possuem nada em comum. Mas não é bem assim
conforme mostraremos a seguir.
No conjunto dos vetores está definida uma adição dotada das propriedades comutativa, associativa,
além da existência do elemento neutro (vetor nulo) e do oposto.
Além disso, podemos multiplicar um vetor por um número real. Essa multiplicação tem as seguintes
propriedades (já certamente vista por você no seu curso):
α(u + v) = αu + αv ,
(α + β)u = αu + βu ,
(αβ)u = (αβu) ,
1 · u = u ,
onde u, v são vetores e α, β são escalares quaisquer.
No conjunto das matrizes também está definida uma adição dotada também das propriedades associativa,
comutativa, admite elemento neutro, a matriz nula, e toda matriz tem uma oposta.
Como vemos o comportamento do conjunto dos vetores e o das matrizes quanto à adição é o mesmo.
Mas não param por aí as coincidências.
Pode-se também multiplicar uma matriz por um número real. Essa multiplicação apresenta as mesmas
propriedades que as destacadas para o caso de vetor, ou seja, valem as seguintes igualdades:
α(A + B) = αA + αB ,
(α + β)A = αA + βA ,
(αβ)A = (αβA) ,
1 · A = A ,
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