Cálculo Numérico - Engenharia Civil UEM

CAPÍTULO 10. APROXIMAÇÃO DE FUNÇÕES: MÉTODOS DE INTERPOLAÇÃO POLINOMIAL293
Teorema 10.4 Para r e s inteiros, não negativos:
xr − xs = (r − s)h .
Prova: A prova, por ser semelhante à do teorema anterior, fica como exercício.
Consideremos o polinômio de interpolação de f(x) sobre x0, x1, . . . , xn, dado por (10.10), isto é:
Pn(x) =
n
fk
(x − x0) (x − x1) . . . (x − xk−1) (x − xk+1) . . . (x − xn)
(xk − x0) (xk − x1) . . . (xk − xk−1) (xk − xk+1) . . . (xk − xn) .
k=0
Fazendo a mudança de variável dada por (10.22) e usando os resultados dos teoremas 10.3 e 10.4, obtemos:
Pn (x0 + uh) =
n
k=0
fk
u(u − 1) . . . (u − (k − 1))(u − (k + 1)) . . . (u − n)
k(k − 1) . . . (k − (k − 1))(k − (k + 1)) . . . (k − n)
, (10.23)
que é a forma de Lagrange do polinômio de interpolação para argumentos xi igualmente espaçados de
h = 0.
Esta forma do polinômio de interpolação é particularmente útil na determinação de fórmulas para
integração numérica de funções.
onde
De modo análogo, substituindo x − xr por (u − r)h em (10.12), obtemos:
Temos que:
Rn(x) = Rn (x0 + uh) = u(u − 1) . . . (u − n) hn+1
(n + 1)! f (n+1) (ξ), (10.24)
min (x, x0, . . . , xn) ≤ ξ ≤ max (x, x0, x1, . . . , xn) .
f (n+1) (ξ) = dn+1
dx n+1
mas se preferirmos exprimir f(x) em termos de u, teremos:
e assim:
Rn(u) =
dn+1f 1
n+1 =
dx hn+1 u(u − 1) . . . (u − n)
(n + 1)!
f(x) x = ξ
dn+1 n+1 ,
du
d n+1 f
du n+1
,
u = η
ξ − x0
onde η = pertence ao intervalo (0, n), se supusermos os pontos x0, x1, . . . , xn em ordem crescente
h
e x ∈ (x0, xn).
Como vimos, o polinômio de interpolação para f(x) sobre n + 1 pontos x0, x1, . . . , xn se escreve, em
termos de u =
x − x0 , como:
h
n
Pn (x0 + uh) = λk(u) fk , (10.25)
onde:
λk(u) =
k=0
u(u − 1) . . . (u − (k − 1))(u − (k + 1)) . . . (u − n)
k(k − 1) . . . (k − (k − 1))(k − (k + 1)) . . . (k − n)
. (10.26)