Cálculo Numérico - Engenharia Civil UEM

CAPÍTULO 4. SOLUÇÃO DE SISTEMAS LINEARES: MÉTODOS EXATOS 114
Estudemos agora a equação LU = A, isto é:
⎛
⎝ Lk−1Uk−1
m t Uk−1
Da igualdade acima concluímos que:
Lk−1 p
m t p + ukk
⎞
⎠ =
⎛
Lk−1Uk−1 = Ak−1 ,
Lk−1 p = r ,
m t Uk−1 = s t ,
m t p + ukk = akk .
⎝ Ak−1
r
s t akk
Observe que a primeira equação é válida pela hipótese de indução, e portanto Lk−1 e Uk−1 são
unicamente determinadas. Além disso, nem Lk−1 e nem Uk−1 são singulares (ou Ak−1 também seria
singular, contrariando a hipótese). Assim de:
Lk−1 p = r ⇒ p = L −1
k−1 r ,
mt Uk−1 = st ⇒ mt = st U −1
k−1 ,
mt p + ukk = akk ⇒ ukk = akk − mt p .
Portanto p, m e ukk são determinados univocamente nesta ordem, e L e U são determinados unicamente.
Finalmente,
det(A) = det(L) · det(U)
= 1 · det (Uk−1) · ukk
= u11u22 . . . . . . uk−1,k−1ukk ,
completando a prova.
Cabe salientar que a decomposição LU fornece um dos algoritmos mais eficientes para o cálculo do
determinante de uma matriz.
Esquema Prático para a Decomposição LU
Observe que teoricamente, para obtermos as matrizes L e U, devemos calcular a inversa de Lk−1 e
Uk−1. Entretanto na prática podemos calcular L e U simplesmente aplicando a definição de produto e
de igualdade de matrizes, isto é, impondo que LU = A. Seja então:
⎛
⎞ ⎛
⎞
LU =
⎜
⎝
e a matriz A como em (4.6).
1
ℓ21 1 ○
ℓ31 ℓ32 1
· · · · · · · · ·
. ..
ℓn1 ℓn2 ℓn3 . . . 1
⎞
⎠ .
u11 u12 u13 . . . u1n
⎟ ⎜ u22 u23 ⎟ ⎜
. . . u2n ⎟
⎟ ⎜
u33 ⎟ ⎜
. . . u3n ⎟ ,
⎟ ⎜
⎠ ⎝
.
○ ..
⎟
. ⎠
Para obtermos os elementos da matriz L e da matriz U devemos calcular os elementos das linhas de
U e os elementos da colunas de L na seguinte ordem:
unn