Cálculo Numérico - Engenharia Civil UEM

CAPÍTULO 12. SOLUÇÃO NUMÉRICA DE EQUAÇÕES DIFERENCIAIS ORDINÁRIAS 387
II) Fazendo k = 2 em (12.11), obtemos:
y(xn+2) − y(xn) =
xn+2
xn
f(x, y(x)) dx ,
e assim podemos aplicar a regra 1 3
de Simpson, fórmula (11.9), para calcular a integral na expressão
acima desde que a mesma está sendo avaliada entre três pontos consecutivos. Fazendo isso, segue que:
y(xn+2) = y(xn) + h
3 [f(xn, y(xn)) + 4f(xn+1, y(xn+1)) + f(xn+2, y(xn+2))] ,
e como no caso anterior, obtemos:
yn+2 = yn + h
3 [fn + 4fn+1 + fn+2] , (12.13)
que é um método implícito de 2-passos chamado método de Simpson.
Observe que para poder aplicar o método (12.13), precisamos além de utilizar métodos do tipo
Previsor-Corretor, também obter valores iniciais por métodos de 1-passo.
Além de aproximar a integral do lado direito de (12.11), usando as fórmulas de Newton-Cotes do tipo
fechado, dadas no Capítulo 11, podemos também obter métodos de k-passos, baseados em fórmulas de
integração numérica, usando as fórmulas de Newton-Cotes do tipo aberto, como veremos a seguir.
III) Seja P (x) o único polinômio de grau 2 passando pelos pontos:
(xn, fn) , (xn+1, fn+1) , (xn+2, fn+2) .
Usando a forma de Newton-Gregory para o polinômio de interpolação, fórmula (10.32), obtemos:
P (x) = fn + (x − xn)∆fn + (x − xn)(x − xn+1) ∆2 fn
2!
Agora, desde que os pontos xi, i = n, n + 1, n + 2 são igualmente espaçados de h, podemos fazer a
seguinte mudança de variável: u =
x − xn , e assim:
h
P (x) = P (xn + uh) = fn + u ∆fn +
u(u − 1)
2
∆ 2 fn .
Integrando a equação diferencial de primeira ordem, do (p.v.i.) (12.2), de xn+1 até xn+2, substituindo
y(xn+2) e y(xn+1) por yn+2 e yn+1, respectivamente, e usando o fato que:
obtemos:
xn+2
xn+1
f(x, y(x)) dx ∼ =
yn+2 − yn+1 = h
= h
2
1
xn+2
xn+1
P (x) dx =
fn + u∆fn +
fnu + u2
2 ∆fn + 1
2
2
1
u(u − 1)
2
u 3
3
P (xn + uh) h du ,
∆ 2 fn
du
u2
− ∆
2
2 2
fn
1
.
.