Cálculo Numérico - Engenharia Civil UEM

CAPÍTULO 3. EQUAÇÕES NÃO LINEARES 84
Seja x = z, então os valores de P (z), fórmulas (3.16), e P ′ (z), fórmulas (3.17), podem ser obtidos
através do esquema prático:
Seja P (x) = an x n + an−1 x n−1 + . . . + a1 x + a0. Então:
com b0 = P (z) e c1 = P ′ (z).
an an−1 an−2 . . . a2 a1 a0
↓ + + + + +
z zbn zbn−1 . . . zb3 zb2 zb1
bn bn−1 bn−2 . . . b2 b1 b0
↓ + + + +
z zcn zcn−1 . . . zc3 zc2
cn cn−1 cn−2 . . . c2 c1
Note que o esquema prático acima quando utilizado para calcular apenas o valor do polinômio num
ponto é o conhecido algoritmo de Briot-Ruffini. O esquema de Briot-Ruffini-Horner, na verdade, fornece
o valor de P ′ (z)
1!
, e pode ser continuado para obtenção de P ′′ (z)
2!
, P ′′′ (z)
, etc. (ver [Henrice, 1977]).
3!
Assim, quando f(x) é um polinômio, o método de Newton, fórmula (3.9), pode ser expresso como:
xk+1 = xk − b0(xk)
c1(xk)
, (3.18)
onde b0(xk) e c1(xk) representam, respectivamente, o valor do polinômio e da derivada do polinômio
avaliados em xk.
Vamos assumir agora que z é um zero de P (x). Se P (z) = 0 então b0 = 0. Afirmamos então que:
Os números bn, bn−1, . . . , b1 são os coeficientes do polinômio Q(x), obtido da divisão de P (x) pelo
fator linear x − z, isto é:
De fato,
Q(x) = bn x n−1 + bn−1 x n−2 + . . . + b1 =
P (x)
x − z .
(bn x n−1 + bn−1 x n−2 + . . . + b1)(x − z)
= bn x n + (bn−1 − z bn) x n−1 + . . .
+ (b1 − z b2) x + (b0 − z b1)
= anx n + an−1x n−1 + . . . + a1x + a0 = P (x) .
onde usamos a fórmula de recorrência dada por (3.16), com x substituido por z.
Assim, se z é uma raiz de P (x), podemos escrever que:
P (x) = (x − z)Q(x) ,
e portanto concluímos que qualquer raiz de Q(x) é, também, uma raiz de P (x). Isto nos permite operar
com um polinômio de grau n − 1, ou seja , com Q(x), para calcular as raízes subsequentes de P (x). Esse
processo recebe o nome de Deflação. Usando esse processo evitamos que um mesmo zero seja calculado
várias vezes.
Exemplo 3.14 - Determinar todas as raízes de:
P (x) = x 3 + 2 x 2 − 0.85 x − 1.7 ,
com precisão de 10 −2 , usando o método de Newton, para o cálculo da primeira raiz positiva.