Cálculo Numérico - Engenharia Civil UEM

CAPÍTULO 4. SOLUÇÃO DE SISTEMAS LINEARES: MÉTODOS EXATOS 144
1) Usando decomposição LU obtemos as colunas de A −1 , fazendo:
isto é, resolvendo os sistemas:
LUbi = ei , i = 1, 2, . . . , n ,
⎧
⎨
⎩
L yi = ei
U bi = yi
i = 1, 2, . . . , n .
2) Usando o método de Cholesky (somente para matrizes simétricas e positivas definidas), obtemos as
colunas de A −1 , fazendo:
GG t bi = ei , i = 1, 2, . . . , n ,
isto é, resolvendo os sistemas:
⎧
⎨
⎩
G yi = ei
G t bi = yi
i = 1, 2, . . . , n .
3) Usando o método de Eliminação de Gauss, obtemos as colunas de A −1 , resolvendo os sistemas:
Abi = ei , i = 1, 2, . . . , n.
Observe que podemos colocar todas as colunas da identidade ao lado da matriz A e fazer a decomposição
de uma só vez.
4) Podemos calcular a inversa de uma matriz, pelo método de Gauss-Compacto usando o mesmo
esquema da resolução de sistemas matriciais, isto é, fazendo:
⎛
a11
⎜ a21 ⎜
⎝ . . .
a12
a22
. . .
. . .
a1n
a2n
⎞ ⎛
x11
⎟ ⎜ x21 ⎟ ⎜
⎠ ⎝ . . .
x12
x22
. . .
. . .
x1n
x2n
⎞
⎟
⎠
an1 an2 . . . ann xn1 xn2 . . . xnn
=
⎛
1
⎜ 0
⎝ . . .
0
1
. . .
. . .
0
0
⎞
⎟
⎠
0 0 . . . 1
.
Portanto, as colunas da matriz X são as colunas da matriz inversa de A, desde que AA −1 = I.
Exemplo 4.12 - Considere a matriz:
A =
⎛
⎝
3 0 3
2 −2 1
1 2 0
Calcule A −1 utilizando o Método de Gauss-Compacto.
Solução: Devemos resolver o sistema matricial:
⎛
3
⎝ 2
0
−2
⎞ ⎛
3
1 ⎠
1 2 0
Temos: ⎛
⎝
3 0 3 | 1 0 0
2 −2 1 | 0 1 0
1 2 0 | 0 0 1
⎝ x11 x12 x13
x21 x22 x23
x31 x32 x33
⎞
⎠ ∼
⎛
⎝
⎞
⎞
⎠ .
⎠ =
⎛
⎝
1 0 0
0 1 0
0 0 1
⎞
⎠ .
3 0 3 | 1 0 0
2/3 −2 −1 | −2/3 1 0
1/3 −1 −2 | −1 1 1
⎞
⎠ .