Cálculo Numérico - Engenharia Civil UEM

CAPÍTULO 7. DETERMINAÇÃO NUMÉRICA DE AUTO-VALORES E AUTO-VETORES 214
Fazer então, uma rotação com a finalidade de zerar o elemento apq. A seguir reaplicamos o processo
à matriz resultante tantas vezes quantas forem necessárias, de tal modo a reduzirmos a matriz A a uma
matriz diagonal D, cujos elementos são os auto-valores de A.
Assim, no primeiro passo devemos zerar o elemento apq. Assumimos que apq = 0, (pois caso contrário
nada teríamos a fazer), e assim nosso objetivo é obter a ′′
pq = 0. De (7.15), temos a expressão para a ′′
pq e
impondo que o mesmo seja identicamente nulo, segue que:
Portanto:
Agora:
(app − aqq) cos ϕ sen ϕ
1
2 sen2ϕ
+ apq(cos 2 ϕ − sen 2 ϕ
cos2ϕ
) = 0 .
app − aqq = − apq cos 2 ϕ
1
2 sen 2 ϕ = − 2 apq cotg 2 ϕ
⇒ cotg 2 ϕ =
cotg 2 ϕ =
Seja t = tg ϕ; temos cotg 2 ϕ = φ. Assim:
Portanto:
=
φ =
aqq − app
2 apq
= φ .
cos 2 ϕ
sen 2 ϕ = cos2 ϕ − sen2 ϕ
2 sen ϕ cos ϕ
cos 2 ϕ − sen 2 ϕ
cos 2 ϕ
2 sen ϕ cos ϕ
cos 2 ϕ
=
= 1 − tg2 ϕ
2 tg ϕ
1 − t2
2t ⇒ 1 − t2 = 2tφ .
t 2 + 2tφ − 1 = 0 ⇒ ⇒ t = −2 φ ± 4φ 2 + 4
2
Obtemos então: t = −φ ± φ2 + 1. Multiplicando o numerador e o denominador por: φ ± φ2 + 1
segue que:
1
t =
φ ± φ2 + 1
Computacionalmente, adotamos:
t =
⎧
⎪⎨
⎪⎩
1
φ + Sinal(φ) φ 2 + 1
, φ = 0 ;
1 , φ = 0 .
Observe que escolhemos o sinal positivo ou negativo de φ de modo a obter o denominador de maior
módulo, pois assim teremos sempre |t| ≤ 1. Agora, temos as seguintes fórmulas para a secante de um
ângulo ϕ:
Assim:
sec 2 ϕ = 1 + tg 2 ϕ, e , sec 2 ϕ =
1
cos 2 ϕ = 1 + tg2 ϕ ⇒ cos 2 ϕ =
1
cos 2 ϕ .
1
1 + tg 2 ϕ .
.
.