Cálculo Numérico - Engenharia Civil UEM

CAPÍTULO 7. DETERMINAÇÃO NUMÉRICA DE AUTO-VALORES E AUTO-VETORES 201
e assim:
Exercícios
7.3 -Seja:
A −1 = 1
−2
⎛
⎝
−1 −1 1
−1 −1 −1
0 −2 0
A =
⎛
⎝
⎞
⎠ ⇒ A −1 =
3 3 −3
−1 9 1
6 3 −6
Usando o método de Leverrier-Faddeev, determinar:
a) seu polinômio característico,
b) seus auto-valores e correspondentes auto-vetores,
c) A −1 .
7.4 - Seja T : IR 2 → IR 2 , definido por:
⎞
⎛
⎝
⎠ .
T (x, y) = (3x + 5y, 3y) .
0.5 0.5 −0.5
0.5 0.5 0.5
0 1 0
Usando o método de Leverrier-Faddeev, determinar seus auto-valores e correspondentes auto-vetores.
7.4 Método das Potências
O Método das Potências consiste em determinar o auto-valor de maior valor absoluto de uma
matriz A, e seu correspondente auto-vetor, sem determinar o polinômio característico. O método é útil
na prática, desde que se tenha interesse em determinar apenas alguns auto-valores, de módulo grande,
e, que estes estejam bem separados, em módulo, dos demais. Podem surgir complicações caso a matriz
A não possua auto-vetores linearmente independentes. O método das potências baseia-se no seguinte
teorema.
Teorema 7.2 - Seja A uma matriz real de ordem n e sejam λ1, λ2, . . . , λn seus auto-valores e u1, u2, . . . , un
seus correspondentes auto-vetores. Suponha que os auto-vetores são linearmente independentes, e que:
Seja a sequência yk definida por:
|λ1| > |λ2| ≥ . . . ≥ |λn| .
yk+1 = Ayk , k = 0, 1, 2, . . . ,
onde y0 é um vetor arbitrário, que permite a expansão:
n
y0 =
com cj escalares quaisquer e c1 = 0, então:
j=1
(yk+1)r
lim
k→∞ (yk)r
cjuj ,
= λ1 ,
onde o índice r indica a r-ésima componente. Além disso, quando k → ∞, yk tende ao auto-vetor
correspondente a λ1.
⎞
⎠ .