Cálculo Numérico - Engenharia Civil UEM

CAPÍTULO 5. SOLUÇÃO DE SISTEMAS LINEARES: MÉTODOS ITERATIVOS 169
é o resíduo.
O objetivo do processo de relaxação é fazer com que o resíduo se anule. Para ver como é possível
conseguir isso, consideremos, junto com o sistema de equações (5.14), a função quadrática:
F (v) = 1
(Av, v) + (b, v) , (5.15)
2
onde A = (aij); v = (v1, v2, . . . , vn) t ; b = (b1, b2, . . . , bn) t , sendo que (Av, v) ≥ 0, com igualdade válida se
e somente se v = θ (vetor nulo).
Portanto, calculando os produtos escalares da expressão (5.15), obtemos:
Observe agora que:
Portanto:
desde que A é simétrica, e
F (v) = 1
2
n
aijvivj =
i,j=1
n
aijvivj +
i,j=1
n
n
i=1 j=1
aijvivj
n
i=1
bivi ,
= a11v 2 1 + a12v1v2 + . . . + a1nv1vn
+ a21v2v1 + a22v 2 2 + . . . + a2nv2vn
. . .
+ an1vnv1 + an2vnv2 + . . . + annv 2 n ,
n
bivi = b1v1 + . . . + bnvn .
i=1
Logo, podemos escrever que:
Agora:
Portanto:
∂F (v)
∂vi
∂ n
i,j=1 aijvivj
∂vi
∂ n
i=1 bivi
= 1
2
=
∂vi
· 2
= 2
n
j=1
n
j=1
= bi .
aijvj + bi
aijvi ,
n
aijvj + bi, i = 1, . . . , n .
j=1
∂F (v)
grad F (v) = ,
∂v1
∂F (v)
∂F (v)
, . . . .
2v2 ∂vn
∂F (v)
grad F (v) = 0 ⇔
= 0 , i = 1, 2, . . . , n
∂vi