Cálculo Numérico - Engenharia Civil UEM

CAPÍTULO 12. SOLUÇÃO NUMÉRICA DE EQUAÇÕES DIFERENCIAIS ORDINÁRIAS 397
12.4 Métodos do Tipo Previsor - Corretor
Descreveremos aqui como utilizar um método linear de passo múltiplo implícito, para determinar a
solução do (p.v.i.) (12.2).
Para os métodos de k-passos implícitos, em cada passo, devemos resolver para yn+k a equação:
yn+k = −
k−1
k−1
αjyn+j + h βjfn+j + hβkf(xn+k, yn+k) , (12.22)
j=0
j=0
onde yn+j e fn+j , j = 0, 1, . . . , k − 1 são conhecidos.
Como já dissemos anteriormente, se f for uma função não linear em y, não teremos, em geral, condições
de resolver (12.22) em relação a yn+k de uma forma exata. Entretanto pode ser provado que uma única
solução para yn+k existe e pode ser aproximada pelo método iterativo:
y [s+1]
n+k
= −
k−1
j=0
k−1
αjyn+j + h
onde s = 1, 2, . . . , e mantendo xn+k fixo, y [0]
múltiplo explícito. Assim,
k−1
= −
y [0]
n+k
j=0
n+k
Ao método explícito chamaremos Previsor.
j=0
βjfn+j + hβkf(xn+k, y [s]
n+k ) , (12.23)
, pode ser obtido usando um método linear de passo
α ∗ k−1
j yn+j + h β ∗ j fn+j .
Com esse valor e o método implícito, (12.23), o qual chamaremos Corretor, calculamos y [1]
n+k , y[2]
n+k , . . . .
Indicaremos por:
P : aplicação do Previsor,
E: cálculo de f(xn+k, y [s]
n+k ),
C: aplicação do Corretor.
O par P C será então aplicado no modo P (EC) m E, onde m é o número de vezes que calculamos f
e aplicamos C. A iteração finaliza quando dois valores sucessivos de y, obtidos com a aplicação de C,
satisfazem a precisão desejada.
Duas questões que surgem naturalmente vinculadas as fórmulas corretoras são:
1 - Sob que condições convergirá a fórmula corretora?
2 - Quantas iterações serão necessárias para se atingir a precisão desejada?
A resposta à última pergunta dependerá de muitos fatores. Contudo, a experiência mostra que somente
uma ou duas aplicações da corretora são suficientes, desde que a amplitude do intervalo h tenha
sido selecionada adequadamente. Caso verifiquemos que uma ou duas correções não são suficientes, será
melhor reduzirmos a amplitude do intervalo h ao invés de prosseguirmos a iteração. Assim, na prática,
não usamos m > 2.
A resposta à primeira questão está contida no seguinte teorema.
j=0