Cálculo Numérico - Engenharia Civil UEM

CAPÍTULO 12. SOLUÇÃO NUMÉRICA DE EQUAÇÕES DIFERENCIAIS ORDINÁRIAS 393
12.3.5 Consistência e Estabilidade
Descreveremos aqui as propriedades de consistência e estabilidade dos métodos de k-passos. Dado o
método linear de passo múltiplo (12.7), definimos, inicialmente:
ρ(ξ) =
k
j=0
αj ξ j
e τ(ξ) =
k
j=0
βj ξ j ,
como sendo o primeiro e segundo polinômio característico, respectivamente.
Definição 12.5 - Um método linear de passo múltiplo é estável se nenhuma raiz de ρ(ξ) tem módulo
maior do que 1 e toda raiz com módulo 1 é simples.
Exemplo 12.7 - Verificar se o método de Simpson é estável.
Solução: Temos que o método de Simpson é dado por (12.13), de onde deduzimos que:
Assim:
α0 = −1 , α1 = 0 , α2 = 1 .
ρ(ξ) = ξ 2 − 1 → ξ = ±1
Logo as raízes têm módulo 1 e são simples. Portanto o método de Simpson é estável.
Definição 12.6 - Um método linear de passo múltiplo é consistente se tem ordem q ≥ 1.
Assim, por ( 12.18), vemos que um método linear de passo múltiplo é consistente se e somente se
k
αj = 0 e
j=0
k
βj =
j=0
k
jαj
Exemplo 12.8 - Verificar se o método de Adams-Basforth é consistente.
Solução: Temos que o método de Adams-Basforth é dado por (12.15), de onde deduzimos que:
Assim:
α0 = 0 , β0 = − 1 2 ,
α1 = −1 , β1 = 3 2 ,
α2 = 1 , β2 = 0 .
j=0
C0 = α0 + α1 + α2 ⇒ C0 = 0 − 1 + 1 = 0 ,
C1 = α1 + 2α2 − (β0 + β1 + β2) ⇒ C1 = − 1 3
+ + 0 = 0 ,
2 2
Assim, o método de Adams-Basforth é consistente.
(12.20)
Definição 12.7 - Se o erro de truncamento local de um método de k-passos é: Cq+1h q+1 y (q+1) (nn),
então dizemos que o método é consistente de ordem q.
Pelo Exemplo 12.6 , vemos que o método de Euler é consistente de ordem 1 e que o método do trapézio
é consistente de ordem 2.