Cálculo Numérico - Engenharia Civil UEM

CAPÍTULO 4. SOLUÇÃO DE SISTEMAS LINEARES: MÉTODOS EXATOS 113
Os menores principais de A de ordens 1, 2, . . . n são definidos pelas sub-matrizes de A:
Ak =
⎛
a11
⎜ a21 ⎜
⎝ .
a12
a22
.
. . .
. . .
. ..
a1k
a2k
.
⎞
⎟ ,
⎠
k = 1, 2, . . . n .
ak1 ak2 . . . akk
Definição 4.4 - Uma matriz real simétrica A, n × n, é positiva definida se para todos os menores
principais Ak, constituído das k primeiras linhas e k primeiras colunas vale: det(Ak) > 0 , k =
1, 2, . . . , n.
4.2 Decomposição LU
Inicialmente veremos em que condições podemos decompor uma matriz quadrada A = (aij) no
produto de uma matriz triangular inferior por uma matriz triangular superior.
Teorema 4.1 - Teorema LU - Seja A = (aij) uma matriz quadrada de ordem n, e Ak o menor
principal, constituído das k primeiras linhas e k primeiras colunas de A. Assumimos que det(Ak) = 0
para k = 1, 2, . . . , n − 1. Então existe uma única matriz triangular inferior L = (ℓij), com ℓ11 =
ℓ22 = . . . = ℓnn = 1, e uma única matriz triangular superior U = (uij) tal que LU = A. Além disso,
det(A) = u11u22 . . . unn.
Prova: Para provar esse teorema usaremos indução sobre n.
1) Se n = 1, temos que: a11 = 1 · a11 = 1 · u11 unicamente, e assim A = LU onde L = 1 e U = u11.
Além disso, det(A) = u11.
2) Assumimos que o teorema é verdadeiro para n = k − 1, ou seja que toda matriz de ordem (k − 1)
é decomponível no produto LU nas condições do teorema.
3) Devemos mostrar que a decomposição pode ser feita para uma matriz de ordem n = k. Seja então
A uma matriz de ordem k. Partimos essa matriz em sub-matrizes da forma:
⎛
⎞
Ak−1 r
A = ⎝
⎠ ,
s t akk
onde r e s são vetores coluna, ambos com k − 1 componentes.
Note que a matriz Ak−1 é de ordem k − 1 e satisfaz as hipóteses do teorema. Portanto pela hipótese
de indução esta pode ser decomposta na forma Ak−1 = Lk−1Uk−1. Utilizando as matrizes Lk−1 e Uk−1
formamos as seguintes matrizes:
⎛
L = ⎝ Lk−1 0
mt ⎞ ⎛
⎠ ; U = ⎝
1
Uk−1
⎞
p
⎠ ,
0 ukk
onde m e p são vetores coluna, ambos com k − 1 componentes. Note que m, p e ukk são desconhecidos.
Assim, impondo que a matriz A seja decomponível em LU vamos tentar determiná-los.
Efetuando o produto LU, segue que:
⎛
⎞
LU =
⎝ Lk−1Uk−1
m t Uk−1
Lk−1 p
m t p + ukk
⎠ .