Cálculo Numérico - Engenharia Civil UEM

CAPÍTULO 13. SOLUÇÃO NUMÉRICA DE EQUAÇÕES DIFERENCIAIS PARCIAIS 449
Estabilidade
Analogamente ao caso do método explícito pelo critério de von Neumann escrevemos:
Ui,j = e λj e Iβi .
Substituindo na equação (13.36) temos o seguinte desenvolvimento:
Portanto:
Ui,j−1 = −σUi−1,j + (1 + 2σ)Ui,j − σUi+1,j
e λ(j−1) e Iβi = −σe λj e Iβ(i−1) + (1 + 2σ)Ui,j − σe λj e Iβ(i+1)
e −λ Ui,j = −σe −Iβ Ui,j + (1 + 2σ)Ui,j − σe Iβ Ui,j
e −λ = −σ(e −Iβ + e Iβ ) + (1 + 2σ)
= −2σ cos β + 1 + 2σ
= 1 + 2σ(1 − cos β)
2 β
= 1 + 4σ sen
2 .
e λ =
1
1 + 4σ sen 2 β
2
Para a estabilidade, |e λ | ≤ 1. Mas, neste caso |e λ | < 1 para todo σ, ou seja, o método é incondicionalmente
estável. Algumas vezes, esse fato é usado para justificar a utilização de um método implícito,
pois sendo esse método incondicionalmente estável, não devemos nos preocupar com a amplificação de
erros e portanto podemos utilizar uma malha menos fina para obter a solução.
Como nos casos anteriores, a análise da estabilidade pode ser feita também pelo critério da matriz,
aplicado à equação de diferemças,
ej = A −1 ej−1 + A −1 τj ,
de maneira que teremos estabilidade se os autovalores de A −1 estiverem no disco unitário. Ver exercício
(13.13).
Método de Crank-Nicolson
Este é um dos métodos mais utilizados na solução de equações parabólicas. Como no caso do método
do Trapézio para equações diferenciais ordinárias, este método é a “média aritmética” do explícito com
o implícito. Tomando pois a média entre as expressões (13.17) e (13.36) obtemos o Método de Crank-
Nicolson:
ou ainda,
Ui,j+1 = Ui,j + σ(Ui−1,j + Ui−1,j+1 − 2(Ui,j + Ui,j+1) + Ui+1,j + Ui+1,j+1)
2
Ui,j+1 − Ui,j
k
= a
2h 2 (Ui−1,j − 2Ui,j + Ui+1,j + Ui−1,j+1 − 2Ui,j+1 + Ui+1,j+1) ,
.
, (13.39)