Cálculo Numérico - Engenharia Civil UEM

CAPÍTULO 4. SOLUÇÃO DE SISTEMAS LINEARES: MÉTODOS EXATOS 111
Observe que geometricamente as duas retas são paralelas. Assim, para o sistema (III), as duas
equações são contraditórias, isto é, não é possível que se tenha simultaneamente x + y = 1 e x + y = 4.
Logo (III) é um sistema impossível.
Nosso objetivo aqui será o de desenvolver métodos numéricos para resolver sistemas lineares de ordem
n, que tenham solução única. Observe que tais sistemas são aqueles onde a matriz dos coeficientes é não
singular, isto é, det(A) = 0.
Antes de descrevermos em detalhes os métodos de solução, vamos examinar quais os caminhos mais
gerais para se chegar a elas.
Métodos numéricos para solução de sistemas de equações lineares são divididos principalmente em
dois grupos:
- Métodos Exatos: são aqueles que forneceriam a solução exata, não fossem os erros de arredondamento,
com um número finito de operações.
- Métodos Iterativos: são aqueles que permitem obter a solução de um sistema com uma dada precisão
através de um processo infinito convergente.
Assim, os métodos exatos em princípio, ou seja desprezando os erros de arredondamento, produzirão
uma solução, se houver, em um número finito de operações aritméticas. Um método iterativo, por outro
lado, iria requerer em princípio, um número infinito de operações aritméticas para produzir a solução
exata. Assim, um método iterativo tem um erro de truncamento e o exato não tem. Por outro lado, em
sistemas de grande porte os erros de arredondamento de um método exato podem tornar a solução sem
significado, enquanto que nos métodos iterativos os erros de arredondamento não se acumulam. Veremos
entretanto, que ambos são úteis, ambos têm vantagens e limitações.
Neste capítulo estudaremos somente métodos exatos e no Capítulo 5 os métodos iterativos.
Voltemos ao exemplo 4.1. Observando a Figura 4.1 vê-se facilmente que poderíamos traçar infinitos
conjuntos de duas retas concorrentes cuja intersecção fosse o par (4, 2) t . Cada um desses conjuntos
formaria um sistema de duas equações lineares que teriam portanto a mesma solução. Assim definimos:
Definição 4.1 - Dois sistemas lineares são equivalentes quando admitem a mesma solução.
Com base na definição 4.1 não fica difícil deduzir que uma maneira de obter a solução de um sistema
linear através de métodos numéricos é transformá-lo em outro equivalente cuja solução seja facilmente
obtida. Em geral, nos métodos exatos, transformamos o sistema original num sistema equivalente, cuja
solução é obtida resolvendo-se sistemas triangulares.
Solução de Sistemas Triangulares
Como já dissemos, resolver sistemas triangulares é muito fácil; entretanto, apresentaremos aqui a
solução de tais sistemas com o objetivo de auxiliar a elaboração de projetos que envolvam a resolução
dos mesmos.
i) Um sistema linear de ordem n é triangular inferior se tiver a forma: